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was identisch wird, wenn Ai A^ . . . Am~i so gewählt werden, dass 

 die Gleichung: 



.v"' = m\(Z) +A<-i (m— 1)!(,„1,)+ • • • -i-A,,vi.v—i) + A^x 



stattfindet. Sie ist durch ,v abkürzbar und lässt sich so schreiben : 



(10) A, + A, Or - 1) + ^3 (.r-1) Or - 2) + . . . 



+ ^,„_i Or - 1) (.^• — 2) . . . (,r— m+2) + 

 + (.r— l)Or— 2) . . . (.P— wH-l) = .r"'-'. 



Setzt man in dieselbe für o? der Reihe nach die Zahlen 1,2,3,4, 

 so erhält man : 



A, = 1 



Ay + A. = 2"'-' 



J, 4- 2A + 2^3 = 3"'-* 



Ai + 3 Jo + 6^3 + ßA, = 4»'-' 



woraus sich leicht die Werthe von Ai , A^ , A3 , A^ , . . . ergeben. 



Anmerkung'. Schlö milch kömmt in seinem vortrefflichen Lehrbuehe „Theorie 

 der Differenzen und Summen" bei Gelegenheit der endlichen Integration 

 der rationalen ganzen algebraischen Functionen ebenfalls zu der Gleichung: 



x'" =:Ai X -\- A2 X (a- — 1) + As X (o; — 1) (x — 2) -f- . . . 



+ X (^x — 1) (a; — 2) . . . (.c — m + 1) 



und gibt daselbst für Ak folgende schöne Formel: 



A=^[^--a)(^-i)"' + (0(^-2)"--. . .]. 



Es lassen sich diese Zahlen aber noch auf eine andere, für die 

 wirkliche Berechnung bequemere Weise finden , denn offenbar ist Ai 

 nichts anderes, als der Rest, den man erhält, wenn man .^'"'~* durch 

 a? — 1 dividirt, und der hiebei sich ergebende Quotient ist: 



A^-J3(^-2) + A0^'-2)Cr-3)+ . . . 



+ ^„_,(a? — 2)(^— 3) . . . (.v_m+2) + 



+ Gr-2)0r-3)...(.r-m+l) 



ferner ist A^ der Rest, den man erhält, wenn man den eben gefun- 

 denen Quotienten durch x — 2 dividirt, und der Quotient dieser 

 Division ist: 



