Integration der Differentialgleichung: etc. 33 



Durch Ti'eiinimg der Variablen kommt man zu 



deren Integrale ist: 



log z (-'*+•> =--(ß—cc).v—ßlo(j (m-i-x) 

 woraus folgt: 



(-.+o=li?Z!ll 



Man hat daher 





z = 



dxA- 





und folfflich 



2/ 



rt^— > r etp— »i'^ I 

 dx^-^ l (m+.T) Ä J ■ 

 Vertauscht man in dieser Formel Ä mit B und zugleich a mit |3, 

 so erhält man das zweite particuläre Integrale; das vollständige Inte- 

 grale der gegebenen Differentialgleichung ist daher: 



(5) 1/ = C,e«-^- ^^^^^j- [ j-^^^^ß J +-^2^'" rf7^=rL(m+.r)A J 



Wir können, bevor wir weiter gehen, folgende Bemerkung nicht 

 unterdrücken. Ist jm. eine ganze positive Zahl, so ist die Gleichung (4), 

 welche durch p, maliges Differenziren der Gleichung (3) hervorging, 

 ganz tadelfrei; ist aber /x eine ganze negative Zahl , so wurde die 

 Gleichung (3) einer — |ut. maligen Integration unterworfen, im zweiten 

 Theile der Gleichung (4) sollte daher eigentlich statt Null folgender 

 Ausdruck stehen : 



ist endlich /jl eine gebrochene, irrationale, oder gar imaginäre Zahl, 

 so ist im zweiten Theil der Gleichung (4) eine Function von x zu 

 setzen, deren — jm.*" Differentialquotient gleich Null ist; wir wollen 

 diese, von Liouville in die Mathematik eingeführte, von ihm ^,fonc- 

 tion complementaire" genannte Function mit ^ bezeichnen, und haben 

 somit : 



(m+x) zi-^+^) + [B + (a— ß) (wi+o?)] 2;(-^+i) = ^ 



woraus durch Integration und nachherige Substitution yon y=^e'^z 



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