Integration der DifferDiilialg^leichung ete. »>«> 



setzt man nämlich : 



wo von den beiden Zeichen + das obere für das erste, das untere 

 für das zweite particuläre Integrale gibt, so erhält man : 



WO Gl und G2 die willkürlichen Constanten bezeichnen. Diese Reihen 

 brechen, wie man sieht, jedesmal ab, wenn -|- eine ganze positive 

 oder negative Zahl ist. Hätte man z. B. a = — 2, so bekäme man 

 als Integrale der Gleichung 



.vif" — 2 y' — b^ X y = 



y^O^e "^{x - {) + G, e -'- ( x + \} 



Ist ~ eine gebrochene oder irrationale oder gar imaginäre Zahl, 

 so sind die für y aufgestellten Reihen divergent, denn es ist: 



Un ?)hnx 



und dies wächst mit dem Wachsen von n über alle Grenzen. 



Ist daher -| keine ganze Zahl , so ist das eben in Reihenform 

 gefundene y unbrauchbar und man muss, um eine brauchbare Reihe 

 zu erhalten, y auf andere Art entwickeln. 



Setzt man nämlich alsdann 



p = ^±26-^ Q = xr'^ 



so ist: 



,=c,."jitL(i),.(i7*)^(i),.=(i-')-;^(i)+...|+ 



(6) _ _^ ^_3 



) dxi-' \4^ ^ 1 hxi-'^xi^ ^ - hx^-^^x^^ ) 



und die hier aufgestellten Reihen sind für jedes a convergent, wie 

 wir gleich zeigen wollen. Behufs des Beweises bilden wir uns: 



rfi-"-' / i 



f/n+i „ . f — n d X 



= +2b.' 



^.iir) 





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