Integration der Differentialgleichung etc. 4 1 







(-+f)fO+f )■•(«-) 



und wenn man diese Werthe substituirt, so erhält man 



C/,j n a + M + 1 



was wieder für wachsende Werthe von w gegen Null convergirt. 



Wir haben durch dies dargethan, dass die in (6) enthaltenen 

 unendlichen Reihen convergiren, wenn — keine ganze Zahl ist. Es ist 

 uns mithin die Integration der Gleichung: 



X y'-\- a y — b"x y = o 



sowohl durch geschlossene Formeln, als auch durch unendliche und 

 convergente Reihen in allen Fällen gelungen. — Wir bemerken noch, 

 dass die Gleichung (7) und die aus ihr gezogenen blos für positive 

 Werthe von .r gelten; aber für negative a? ergeben sich, durch eine 

 etwas geänderte Analyse ganz dieselben Endformeln, es genügt daher 

 diese unsere Arbeit allen Bedingungen mathematischer Strenge *). 



Bevor ich zur Betrachtung anderer Fälle schreite, will ich be- 

 merken, dass in dem speciellen Falle wo A und B positiv, und ihre 

 Summe gleich 1 ist, das Integrale der Gleichung (2) 



(mi-.r) y"+ [.4+/?— (a+/3) (m+x)] /+ [—Aß — Bo^^o^ß (m^x)]y=o 



sieh auch so darstellen lasse : 



y — C\ A»("' + -^) (u—ay-^ (^u—ßf-^ du-\- 

 -^C2 1 e"^"'+-'\n—af-^ („_/3)«-< log [(m+.r)(?<— a)(»t-|3)] du. 



a 



Ich habe vor Kurzem ein hierüber bezügliches Memoire Herrn 

 Borchard zum Abdrucke in Crelle's Journal für Mathematik mitge- 

 theilt, und erlaube mir hier, durch unmittelbare Substitution die Rich- 

 tigkeit dieses Integrales darzuthun. 



*) Man sehe auch hierüber im 9. Band \on Lioiiville's io»rird{: „Memoire sur 

 l'iiUegrution dune equution differenticlle par J. A. Serret.'-' 



