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Zweifel sehr Vieles beiträgt, würde, bei der hier angestrebten Allge- 

 meinheit, und wo es sich um die gleichzeitige Erledigung aller irgend 

 denkbaren Fälle handelt, noch grössere Weitläuligkeiten verursacht 

 haben, weil, um alle möglichen Fälle mittelst geometrischer Betrach- 

 tungen erörtern zu können, vor Allem die erschöpfende Kenntniss 

 dieser Fälle selbst nöthig ist, die man sich wohl nur wieder durch 

 analytische Auseinandersetzungen verschätzen kann. 



Das Ergebniss dieser Untersuchung, welche hier nicht ausführ- 

 licher beschrieben werden kann, ist nun aber sehr merkwürdig, indem 

 die Analyse aller möglichen Fälle zeigt, dass das oben angegebene 

 Doppelintegral, in bezeichneter Weise durch zwei gleichzeitig ein- 

 tretende neue Veränderliche transformirt, immer in drei neue Doppel- 

 integrale zerfällt, und dass sich die Grenzen dieser Integrale in 

 vollständig bestimmter Weise angeben lassen, ohne dass irgend ein 

 Zweifel über das der Determinante A beizulegende Zeichen übrig 

 bliebe. — Mit Rücksicht auf die bereits angeführten Bezeichnungen 

 und Voraussetzungen wird nämlich bewiesen, dass stets: 



j dx jf\x,y)dy 



>• S 1^0 



feil ff(X, Y)AdiJ.-\- j dl ff{X, Y)^dlJ.-^ 1 dl f f\X, Y)AdiJ. 



Es ist für sieh klar, dass man, ohne die Anzahl der Integrale auf 

 der rechten Seite der Gleichung zu vergrössern, durch Zerlegung 

 derselben andere Verbindungen der Grenzwerthe unter sich, und 

 hierdurch andere Formen erlangen kann; zwölf derselben finden sich 

 in der Abhandlung angegeben. Der Beweis der obigen Formel, welche 

 die Lösung der ursprünglichen Aufgabe darstellt und wesentlich neu 

 ist, erscheint nun allerdings in etwas weitläufiger Form ; aber jener 

 Beweis bildet den bei weitem schwierigsten Theil der Arbeit und 

 es wurde wohl nichts versäumt, denselben in die möglichst kurze 

 Form zu bringen , so dass weitere Kürzungen unbeschadet der 

 Gründlichkeit, sich kaum daran anbringen lassen werden. 



Zahlreiche Anwendungen des so eben bezeichneten Theorems 

 auf speciellere Formen des Doppelintegrals liefern eben so viele 



