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Im'iim'iIumisvn ertlu' iiciu' Hesiiltiite und bilden die zweite stärkere Hälfte 

 der AI)li;iii(iliiiiL!. 



Einii»:e dieser Kesiiltute iiiügeii hier etwas niilier l>e/eieliiiet 

 werden. 



2. 



Wie hekaniil darf die Aiifeiiiaiiderfoit^e der Integrationen bei 

 hoppelintejiralon zwiselien constanlen Grenzen umgekehrt werden, 

 (ihnc dass der DitVerential-Ansdriiek hierdnrcli irgend eine Verände- 

 rung erleidet. In der vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, dass diese 

 IJmkehrung in gleicher Weise auch l)ei veränderlichen Grenzen 

 geschehen kann; nur entstehen daraus im Allgemeinen drei neue 

 Doppelintegrale zwischen Grenzen, w^eiclie aus den ursprünglich 

 gegebenen in vorgescbriebener Weise zu bilden sind. Der entspre- 

 chende Satz lässt sich in folgender Weise ausdrücken: 



Vorausgesetzt, es liege zwischen f« '"i^ Ci l^^in Werth von ;v, 

 welcher der Gleichung (p^(^a^^ = y'(.r) Genüge leistet, und ange- 

 nommen , man habe aus den beiden Gleichungen 



y = ^0(^1;) und?/ = f'i^v) 

 die einzigen reellen Wurzeln resp. 



cv = ^o(y) und x = f (i/) 

 abgeleitet, so findet die Gleichung Statt: 



Idx j f{x, y) dy = 



J dy j fix-, y) dx + j dy j /(.r, //) dx -^ dy j fix, y) d.v. 



rHh) ''\'''(y) Wd«) y(y) ?'(':,) >(.v) 



Diese Gleichung lässt selbst wieder viele Anwendungen zu. Um 

 nur einer derselben zu erwähnen, hat man: 





F(z)dz 



und daraus wieder: 



r / U-^')"'-'(a- -?/)»- ' ... , , ro'oro-j fr., ., 



(1 i<. 



