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So wird z. B. gezeigt, dass : 



oo so 



«'»6" . / cLv I x'"-^ y"-^ t'{ax -f- by, a-yjdy = 



i"'+"-'ca o+Vi—p.}"'-' (1— |/i— /jc)"- 





dlJ. 



+ /A'"+«-*fA /(1— V'l— /^)"'"' (l + |/l— 1^)"^' 





<//x, 



woraus sich für m^=n=^\ ergibt: 



i/o' I f(((.r -f by, .ry) dy = 



Diese Gleichung wird zur Werthbestimmung einer Anzahl dop- 

 pelter Integrale benutzt, wovon einige bereits von Cauchy in den 

 Noten zur „Theorie des ondes" untersucht und unter Anwendung 

 unendlicher Reihen auch näher bestimmt worden sind. 



Nebenbei werden zwei Reductionsformeln für bestimmte Inte- 

 grale erhalten, welche über die Unmöglichkeif, diese Integrale in end- 

 licher Form zu finden, wohl den besten Aufschluss geben. 



Diese Formeln lassen sich wie folgt darstellen. 



1 -|- sin ß cos X 



loa r-7 dx = 2 



1 — sin p cos X 



arctg {sin ct. lang a.-) 



dx 



cosß -\- cosx 



'"9 "Z? - ZI ''■"- = - r'S ('""^ l)"*- + '"9 'i^/^- 



wobei die letztere (ileichung nur so lange gilt, als cos ^ — cos a 

 positiv ist. 



