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Man bestimme zuerst ein Rechteck mnpq, dessen 



Seiten gleich sind %R cos — und 2R cos — , mithin gleich 



den Sehnen der Mittelpunktswinke] von 180 — K x und 

 1 80 — K, im Kreise vom Halbmesser R und ziehe d u r c h 

 die Eckpunkte m, n, p, q an den dem Hechtecke um- 

 schriebenen Kreis die Tangenten aß , ßy , yo und da , 

 w c 1 c h e sich in den Punkte n a, ß, 7 u n d ^schneide n. Dann 

 verzeichne man über der im Mittelpunkte w des Kreises 

 mnpq auf dessen Ebene senkrechten Geraden öS als 

 Hypotenuse ein Dreieck oSz so, dass der Scheitel z 

 des rechten Winkels in die Peripherie des Kreises mnpq 

 f ä 1 1 1 und die K a t h e t e zo = R i s t u n d v e r b i 11 d e d e n dieser 

 Kathete gegen über liegenden Eckpunkt S mit den 

 Punkten a, ß, y, 8 durch die Geraden Sa, Sß, Sy und SB. 



Zieht man die Geraden om, on, op und oq, so bekommt man eine 

 vierflächige Ecke omnpq, deren Flächenwinkel abwechselnd gleich 

 sind 180 — K t und 180 — K 2 . — 



Bevor wir zu der Construction der Krystallgestalten selbst 

 übergehen, wollen wir früher noch zeigen, wie man die horizontale 

 Protection des Durchschnittes zweier eine Kugel berührenden Ebenen 

 findet, welche mit einander einen bestimmten Winkel K einschliessen 

 und gegen eine durch den Mittelpunkt der Kugel gehende Gerade 

 gleichgeneigt sind. 



§■ 8. 



Führt man an die Horizontal-Contour der Kugel u'v'w' , v"w"z" 

 Taf. I, Fig. 9 die zwei den Winkel <fo-\> = K einschliessenden Tan- 

 genten Gf und <ytp, beschreibt von aus mit dem Halbmesser 00 den 

 Horizontalkreis a'S's', a"S"s" und legt durch eine beliebige diesen 

 Kreis schneidende Gerade e'f", e"f", deren horizontale Protection 

 e'f jedoch Tangente an den Kreis a'S's' ist, zwei die Kugel u'v'iv' 

 r"ir"z" berührende Ebenen; so werden die beiden Ebenen den 

 Winkel K mit einander einschliessen und zugleich gegen die verti- 

 cale Gerade t'ti, t"t x " gleichgeneigl sein. 



Beweis. Zieht man öS J_ e/*und durch S an den Äquator der 

 Kugel u'v'w', v"w"z" die Tangente S'h', S"/i", welche die Kugel in 

 dem Punkte p' . p" berührt, errichtet w/» ± öS und beschreibt von 



