der verticalaxigen Krystallgestalten ans den Kantenwinkeln. 261 



w aus mit dein Halbmesser wp ilen Kreis pmn, dessen Ebene auf der 

 Geraden öS senkrecbt stellt, so stellt dieser Kreis den geometrischen 

 Ort der Berührungspunkte aller durch den Punkt S gebenden die 

 Kugel tangirenden Ebenen vor und es werden desshalb auch die Be- 

 rührungspunkte der beiden Ebenen mef und nef mit der Kugel in 

 diesem Kreise liegen müssen. 



Weil aber die Schenkel des Neigungswinkels zweier Ebenen 

 auf der Durchschnittslinie der beiden Ebenen senkrecht stehen und 

 jede Ebene die Kugel in einem Punkte berührt, dessen Verbindungs- 

 linie mit dem Mittelpunkte der Kugel das Perpendikel auf diese Ebene 

 bildet: so wird offenbar die durch den Mittelpunkt o auf die Gerade 

 ef senkrecht geführte Ebene mSn sowohl den Neigungswinkel als 

 auch die Berührungspunkte der beiden Ebenen mef und nef enthalten 

 müssen. 



Da die Gerade ef zu der verticalen Projections-Ebene parallel 

 ist, so wird die auf ihr senkrechte Ebene mSn eine vertical projici- 

 rende sein und daher den Kreis pmn in den Punkten m", n", deren 

 horizontalen Projectionen m', n' sind, und die Ebenen mef und nef 

 nach den Geraden m'S', m"S"; n'S', n"S" schneiden müssen, und es 

 werden die Punkte m, n die Berührungspunkte und der von den 

 Geraden mS und nS eingeschlossene Winkel mSn der Neigungs- 

 winkel der beiden Ebenen mef und nef sein. 



Zieht man die Geraden mo und no und vergleicht die beiden 

 Vierecke nionS und yo^a mit einander, so findet man: 



<£omS = <^ o'fo = 90°, weil om J_ pl. mef und oy J_ fa , 



<£onS = <£ otya = 90°, „ on J_ pl. nef „ oty J_ tya , 



om = o'j>, on = o'p als Radien einer Kugel, öS = oa als Radien 

 des Kreises oSs, folglich auch 



und 

 d. i. 



<$jnoS = <^ noS = <^ foa = <^ ipoa = — 



<£moS -j- <^ noS = <£ ^oa -\- <£ tyoa = K 

 <^T mSn = <^[ fvty = K- 



Die beiden Ebenen mef und nef schliessen demnach den Winkel K 

 mit einander ein. 



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