J^(5^ Niemtschik. Über die directe Constructions-MeHiode 



l'ni die Winkel, welche die beiden Ebenen mef und nef mit 

 der Geraden l( t einschliessen, zu erhalten, lej^e man durch die Gerade 

 //, zwei Ebenen mot und not, welche beziehungsweise auf den Ebenen 

 mef und nef senkrecht stehen und bestimme ihre Durchschnitte mt 

 und ttti mit den Ebenen mef und nef, welche Geraden bekanntlich 

 mit der (t t die gesuchten Neigungswinkel bilden werden. 



Weil die Ebenen mot und not durch die Gerade tt t gehen und 

 beziehungsweise auf den Ebenen mef und nef senkrecht stehen, so 

 werden offenbar ihre Durchschnitte mt und nt sowohl durch die 

 Durchdringungspunkte t, t t der Geraden tt t , als auch durch die Durch- 

 dringungspunkte m und n der Perpendikel um und on mit den Ebenen 

 mef und nef gehen müssen. 



Führt man durch die Gerade tt t eine zu der verticalen Pro- 

 jections-Ebene parallele flilfsebene /j.ov, so schneidet sie die in den 

 Ebenen mef und nef liegenden Geraden Sm und Sn in den Punkten 

 p. und v, und da sie zugleich zu ef parallel ist, die Ebenen mef und 

 nef nach den zu ef parallelen Geraden \ü und vt t . Da aber die Gera- 

 den tti und ij.fi in der Ebene pto, die Geraden tt t und vt in der 

 Ebene v/o und die Geraden \xt und v£ beziehungsweise in den Ebenen 

 mef und nef liegen; so müssen sich die Geraden tt x und fxt und die 

 Geraden tt t und vt schneiden und zwar in den Punkten t und t it 

 welche beziehungsweise den Ebenen mef und nef angehören und es 

 sind daher t, t t die Durchdringungspunkte der Geraden tt t mit den 

 Ebenen mef und nef 



Zieht man nun die Geraden mt und nt, so sind die von diesen 

 Geraden mit der tt t eingeschlossenen Winkel mto und nto die ge- 

 suchten Neigungswinkel der tt x mit den Ebenen mef und nef. 



Weil mn || /j.v, mS= nS und «<w = iew ist, so ist auch o/jl = ov 

 und weil \ü || vf, <£ fj.ot = <J vo£ und c;jl = ov ist, so ist ot = ot x ; 

 weil endlich om = on, ot = r^, und <^ omt = <£ o/*^ = 90» ist, so 

 ist auch <£mto = <£?ito. Die Gerade tt x ist daher gegen die beiden 

 Ebenen mef und nef gleichgeneigt. 



Die Gerade ef hat zwar in der vorliegenden Figur gegen die 

 verticale Projections-Ebene eine specielle, gegen die Kugel u'v'io, 

 v"w"x" jedoch eine allgemeine Lage; es ist demnach der Beweis 

 auch für andere Lagen der Geraden ef, insoferne sie den Kreis aSs 

 schneidet und ihre horizontale Projection e'f Tangente an defi Kreis 

 a'S's' ist , allgemein giltig. 



