310 Niemtschik. Über dio directe Construcfions-Melhode 



kreis kpq und durch den Berührungspunkt l der Tangente il den 

 zu der Ebene hSf parallelen Kreis Ipt und lege durch den den beiden 

 Kreisen kpq und Ipt gemeinschaftlichen Punkt p eine die Leitkugel 

 tangirende Ebene asg, welche, da sie mit der pyramidalen Axe Ss 

 denselben Winkel, wie die Ebenen JiSf, hSb, hSd und dSf und zu- 

 gleich mit der Ebene hSf den Winkel k bildet, eine Begrenzungs- 

 eltene des gesuchten Trapezoeders sein muss. Verbindet man den 

 Punkt p mit o durch die Gerade p'd und zieht durch d die zwei 

 Geraden g c und de gegen die Gerade p'd unter den Winkeln 

 [/'dp' = p'o'd = 45° geneigt, so stellen die Geraden g'c und de 

 die horizontalen Projectionen der unteren Axenkanten vor. 



Errichtet man s'u J_ dp und halbirt den Winkel s'u'v durch 

 die Gerade g'h', so bildet diese die horizontale Projection der Seiten- 

 kante gh, denn die Ebenen hSf und <a«j sind gegen die pyramidale 

 Axe Ss und weil diese vertical steht, auch gegen die horizontale 

 Projections-Ebene und zwar nach der Richtung gegen die all gleich- 

 geneigt, folglich muss die horizontale Projection g'h' ihrer Durch- 

 schnittslinie gh den Winkel, welchen die Horizontaltracen s'u' und 

 u'v der beiden Ebenen mit einander einschliessen, nach der Richtung 

 g;^gcn g'h' hin halbiren. Überdies muss auch dh' = dg sein. 



Die horizontalen Projectionen der sieben anderen Seitenkanten 

 findet man, wenn man o'd=o'b'=o'c'=o'd', —de'=df'—dg'=dh' 

 macht und die Geraden h'd , ab', b'c, cd', d'e, e'f und f'g zieht. 



Projicirt man die Punkte b', c, d', f, g, h' nach b", c", d", f". 

 g", h" und nachdem man durch g" die horizontale Gerade g"c" 

 gezogen, die Punkte d, c nach a", e" und zieht die Geraden h"a", 

 a"b", b"c", c"d", d"e", e'f", f'g" und g"h", so ist dadurch auch die 

 verticale Projection des gesuchten Trapezoeders bestimmt. 



Im Allgemeinen werden die beiden Kreise kpq und Ipt zwei 

 Punkte mit einander gemeinschaftlich haben und man eibalt dann, je 

 nachdem man für die untere Trapezoedcrceke entweder die Berüh- 

 rungsebene des Punktes p oder jene des Punktes t wählt, das rechte 

 oder das linke Trapezoeder. 



In den Fällen, in welchen — = 90 — mSo ist, werden die 



beiden genannten Kreise nur einen Punkt gemeinschaftlich haben 

 und es gehört dann die Berührungsebene dieses Punktes einer 

 gleichkantigen vierseitigen Pyramide an. 



