der verticalaxigen Krystallgestalten aus den Kantenwinkeln. 325 



messer om und on um die Gerade PQ alsDrehungsaxe in die Äquator- 

 ebene um , wo dann die Punkte m und n nach M und N zu liegen 

 kommen und die Ebenen M und N als die Geraden ab und cd, 

 folglich auch die zu ihnen parallelen Ebenen der beiden Kreise als 

 Geraden erscheinen werden. 



Zieht man an den Äquator die Tangenten aß und yd so , dass 

 <£ ccßb = K { und <£ r$d = K z ist, so stellen die beiden Tangenten 

 zwei Erzeugende der früher erwähnten Kegelflächen vor; es bilden 

 daher die durch die Berührungspunkte <x und 7 der Tangenten «,3 

 und yo zu den Geraden ab und cd beziehungsweise parallelen Gera- 

 den ccs und y<p die Ebenen der beiden Berührungskreise und die als 

 der Punkt a sich projicirende Gerade efihre Durchschnittslinie, wel- 

 che demnach auf der umgelegten Ebene mno senkrecht stehen muss. 



Dreht man die Gerade ef, welche bekanntlich die beiden Berüh- 

 rungspunkte r und i\ enthält, in ihre ursprüngliche Lage zurück, 

 so wird sich jeder einzelne Punkt derselben in der auf der Drehungs- 

 axe PQ senkrechten Ebene ri\l bewegen und es werden daher die 

 gesuchten Berührungspunkte nach dem Zurückdrehen in der Ebene 

 rrj liegen müssen. Die gesuchten Berührungspunkte müssen aber 

 auch zugleich an der Leitkugel sich befinden und daher im Durch- 

 schnitte derselben mit der Geraden ef liegen. 



Legt man nun die Ebene rr x l um die Gerade tl m die Äquator- 

 ebene um, so wird der Schnitt der Ebene rr t l mit der Ebene mno 

 nach th, der Schnitt rr x l der Ebene rrj mit der Leitkugel aber nach 

 pp t l und der Punkt a nach a f zu liegen kommen. Errichtet man 

 dann im Punkte a t die Gerade ef\_ th und führt die Durchschnitts 

 punkte p und p t derselben mit dem umgelegten Kreise pp v l in die 

 Ebene ri\l nach r und i\; so sind r und 1\ die Berührungspunkte 

 von Ebenen, welche mit der Ebene M den Winkel A'i und zugleich 

 mit der Ebene iVden Winkel K z einschliessen. Um die Richtung der 

 Geraden th zu erhalten, ziehe man mp J_ PQ, trage auf der zu PQ 

 parallelen Geraden m\Xo das Stück mp. = m\u auf, verbinde den 

 Punkt p mit dem Punkt ;ju und ziehe th |] p<i : . 



Das bereits fertige Elaborat über die „directe Constructions- 

 Methode der schiefaxigen Krystallgestalten aus den Kantenwinkeln" 

 hoffe ich in Bälde zusammengestellt zu haben, um es der hochver- 

 ehrten mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen 

 Akademie der Wissenschaften vorlegen zu können. 



