Dio trinären Zahlformen und Zahlwerthe. 40o 



6. Methoden, aus den trinären Werthen die trinären Formen zu finden. 



Hier handelt es sich darum, aus den Grössen a, «', a" die 

 Coefficienten m, m', m" und n, n', n zu bestimmen. Sind, wie es 

 meistens geschieht, von den drei Grössen m, m', m" zwei etwa 

 m', m" prim zu einander, oder kann man sie prim machen, so 

 reicht hiezu die Gleichung (7) und eine der Gleichungen (3) 

 etwa m'n" — m" n = a aus; man erhält nämlich hieraus 

 a = m'n", am -f- a'm' = (Mod. m"), dies gibt ferner 

 mm'n" + am = 0, und da m, m" relative Primzahlen sind, 



mn' -f- a' = (Mod. m") was w = als eine ganze Zahl 



m" 



liefert, wie es die zweite der Gleichungen (3) fordert. Substituirt 



man die Werthe von a, od in die Gleichung (7), so gibt sie 



a" — mn — m'n, und eben so zeigt es sich, dass an-\- a'n'-\-a"n"=Q 



blos eine Folge der obigen zwei Gleichungen ist. 



Nur dann würden die zwei angeführten Gleichungen zur voll- 

 ständigen Bestimmung der trinären Coefficienten nicht ausreichen, 

 wenn man etwa m! = c\).', m" = c\t!' also auch a = ca erhalten 

 würde. In diesem Falle übergeht die Gleichung m'n — m'n =» a in 

 }x'n" — yl'ri = a, was etwa n' = \kt -f- v', n" = [i.''t -j- v " liefert, 

 wobei v\ v" sich als bekannt ergeben, t aber noch zu bestimmen ist. 

 Dies geschieht mittelst a = m"n — mn", woraus man a = — mn" 

 (Mod. c) oder a! = — m\i!'t — mn!' oder m\k"t = — ( a ' ~h niv") 

 zur Berechnung von t erlangt. Es wird daher am geratensten sein, 

 m', m" als prim zu einander zu nehmen. 



Da nun fünf Grössen blos durch zwei Gleichungen zu bestimmen 

 sind, so kann man einer dieser Gleichungen durch Annahme Genüge 

 leisten, die zweite muss hingegen als diophantisch verrechnet 

 werden. Den sechsten Coefficienten findet man aus einer der Glei- 

 chungen (3). 



Dies vorausgeschickt kann man die gegebene Aufgabe nach 

 folgenden Methoden lösen: 



I. Methode. Diese ist der Lege ndr e'schen (Nr. 270, 271) 

 ähnlich, und beruht im nachstehenden Verfahren: Sind n, p, a bezie- 

 hungsweise die grössten gemeinsamen Theiler von 

 a'a", aa" , aa 

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