410 Simerka. 



wirkliche Gleichungen, sondern die Grössen f, g, f',(j sind auch 

 ganze Zahlen. 



Um den ersten Theil darzuthun, kann man sich der Deutlichkeit 

 halber einer Beweisart bedienen, die in der Algebra zwar selten 

 üblich, jedoch immerhin zulässig ist. Man setze die ersten Glieder 

 der ersten Gleichung unter die Krage, dann ist 



a'M'n" — a.'M"ri = ctM"n — aMn" ? 

 dies gibt auch 



n" (aM + «'?) == M" {an + aV)? 



woraus man nach Gleichung (7) — n"a"M" = — M"a"n" erhält, 



so dass das Fragezeichen verschwindet; und da nichts im Wege 



stellt, wesshalb man in den Gleichungen nicht zurück gehen könnte, 



so wird auch die erste richtig sein. Auf dieselbe Art lässt sich 



M'n — Mn" Mn' — M'n , , . ,. , . 



erweisen, dass - = , und dass auch die übrigen 



a a" 



Formeln richtig sind. 



Die Grössen f, g, /", g' sind aber auch ganze Zahlen; nimmt 



o 



man nämlich an, dass f = — wäre, wo <p, ip prim zu einander sind, 

 und setzt man Kürze halber 



L = M'n" — M'n, L = M"n — Mn", L" = Mn — M'n, 

 dann hat man nach den obigen Gleichungen 



onp = Lp, <x.'>f = L'ty , cc"f = L"'p , 



und es müssten gegen die Annahme «, a', a" den gemeinsamen 

 Theiler ty haben. Eben so zeigt es sich, dass g, /", g' ganze Zahlen 

 sein müssen. 



Aus den angeführten vier Gleichungen folgt weiter 



af . «y — a!f . r MJ = (ß< n » _ M'n) (m"N — mN") 



— (m"M — mM") (N'n" — N"n) 

 = m'n' (M'N—MN')—mn"(M'N"—M"N') —m'n' (M"N—MN") 

 = — m"n"oc" — mn' a. — m"n'a'= n" (ma -f- m'y.') — mn"y. — ni'n'a.' 

 = mn"a. — m'il a! = cta, 

 also 



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