

Die trinüren Zablformen und Zahlwerthe. 413 



8. Kennzeichen der uneigentlichen trinüren Formen. 



Jede uneigentliche trinäre Form und nur sie hat uneigentliche 

 trinäre Werthe, so dass in dieser Hinsicht die trinüren Werthe ein 

 charakteristisches Kennzeichen der Formen sind. Ist nämlich in 



px~ + 2qxy -f ry- = (mx + ny)°~ -\- (m'x -f ny)- + (m"x -f n"yY 



die trinäre Form eine uneigentliche, so müssen die drei Wurzeln nach 

 1. für gewisse Werthe von x, y einen gemeinschaftlichen Theiler 

 haben; es kann daher etwa 



mx + ny = ga, m'x + n'y = ga', m'x -\- n"y = ga" 



gesetzt werden. Hat x mit«/ den grössten gemeinschaftlichen Divisor 

 h, d. h. ist x = hx', g = hg', so muss, weil x, y prim zu einander 

 sind, wie dies überall bei den quadratischen Formen vorausgesetzt 

 wird, n, nf, n" durch h theilbar sein, und man hat 



n = hb, n' — hb', n" = hb"; 

 daraus folgt 



a = m'n" — m"n' = h (m'b" — ?n"b) = hk, 

 und eben so a! = hk', od' = hk", wobei also 



k = m'b" — m"b', k' = m"b — mb" , k" = mb' — m'b 



vorstellt. Werden ferner die obigen Wurzeln durch h abgekürzt, so ist 



mx' -{- by = g'a, m'x -\- b'y = ga, m"x' -f- b"y = g'a". 



Eliminirt man y aus diesen Gleichungen, so gibt die zweite und 

 dritte (m'b'' — m"b) x' = g' (ab" — a"b) — kx', und da g', x' 

 prim zu einander sind, so muss k durch g' aufgehen, und man hat 

 k = g ,3, folglich a = hk = hg'ß oder a = gfi. Eben so erhält 

 man aus der ersten und dritten der obigen Gleichungen cc' = gp', 

 dann aus der ersten und zweiten et" = gß". Somit haben die trinären 

 Werthe einen gemeinschaftlichen Factor und zwar denselben, der 

 die drei Wurzeln der trinären Form theilt. 



Auch die propositio in versa dieses Satzes lässt sich erweisen, 

 nämlich dass die Wurzeln mx -f- ny, nix -\- n'y, m"x -\- n'y für 



