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gewisse Wertlie von x, y den gemeinsamen Theiler </ erhalten, wenn 

 a = gfi, cd = gß ', a" = g[j". Es haben nämlich die Gleichungen 

 (11) und (12) auch bei uneigentlichen trinären Formen Gilligkeit, 

 so dass qm — pn = m'a" — m"a! = gk, daher auch qm' — pn' = gk' 

 und qm" — pn" = gk" zum Vorschein kommt. Sind nun t, t' was 

 immer für ganze Zahlen, so ergibt sich bei x = gt -j- q> y = Qt' — p 

 mx -\-ny = g (mt -J- nf -f k) = gA und eben so m'x -f- w'y =gÄ, 

 m"x -f- ri'y = ^.4". 



Anmerkung. Es steht nichts im Wege, warum nicht eine 

 quadratische Zahlform in eine eigentliche und zugleich auch in eine 

 uneigentliche trinärc zerlegt worden könnte; so ist z. B. 



(5>9) = {i 



= <2. 4, 5> 



(5. 9)= , . " ' = <0,3,6> 



Folgesatz. Die Form (/;/, 2<y/, W) kann nur in eine uneigent- 

 liche trinäre verwandelt werden. Ist nämlich l gerade, so folgt dies 

 aus 2., da die Determinante durch 4 theilbar ist. Was jedoch ein 

 ungerades / anbelangt, so gibt die Gleichung (9) 



a'2 -f a" 2 = D — a 2 = (Mod. I); 



wäre daher auch l = kH', und V durch kein Quadrat theilbar, 

 so muss wenigstens a = (Mod. kl') sein, was auch offenbar 

 wegen a 2 -4- a" 2 = D — a'~ = (Mod. /) von a' und a" 

 gelten wird. 



So hat man z. B. 



(27, 18, 48) - | jj . £ . I 3 } = <3, IS, 30> 



9. >Yic viele und welche quadratischen uud trinären Formen haben 

 dieselben uncigentlichcn triuären Wertlie! 



Soll diese Abhandlung so viel als möglich vollständig sein , so 

 darf auch die obangeführte Frage nicht übergangen werden. Die 

 Antwort hierauf lautet: Haben die uneigentlichen trinären Wertlie 

 «, y.', et" den grössten gemeinsamen Theiler S, so dass also DS~ die 

 Determinante ist. dann kommen dieselben in 



