Die trinären Zahlformen und Zahlwerthe. 417 



Nach dieser Bemerkung und den bei Legend re Nr. 135 ange- 

 führten Sätzen wird es dann leicht von zwei relativen Primzahlen 

 a, b zu entscheiden, ob die eine ein quadratischer Rest nach der 

 andern ist, oder nicht. Heisst nämlich b' welche immer in b aufge- 

 hende Primzahl, so findet ersteres Statt, wenn man stets (— ] = 1 



hat, sonst stellt a einen Nichtrest nach b vor. 



Der Ausdruck „« ist ein quadratischer Rest oder Nichtrest 

 nach b u — ist identisch mit dem Satze: „b ist eine bei der positiven 

 Determinante a vorkommende Zahl oder nicht." Ist nämlich a ein 

 quadratischer Rest nach b, so gilt die Congruenz a = c 3 (Mod. b); 

 diese liefert die Gleichung « = c- -f- bd, woraus man die Form 

 (b, 2c, — d) erhält, die b enthält, und zur positiven Determinante a 

 gehört. Wäre a = c- -f- 46rf, so hat man auch die Form (b, c, — d), 

 wo c ungerade ist. 



Dasselbe findet auch bei der negativen Determinante a Statt, 

 wo b eine ihrer Formzahlen ist oder nicht ist, wenn — a einen Rest 

 oder Nichtrest nach b vorstellt; indem aus — a = c 2 (Mod. b) die 

 Gleichung a = bd — c- und weiterhin die Form (b, 2c, d) 

 hervorgeht. 



b) Legend re nennt einen reciproken Theiler denjenigen qua- 

 dratischen Theiler der Form t- -f- Du-, der die Eigenschaft besitzt, 

 dass für jede in jenem Theiler enthaltene Zahl N umgekehrt D ein 

 Theiler von t~ -f- Nu 2 sei. Im Gegentheil nennt er einen quadra- 

 tischen Theiler nicht reciprok, wenn er diese Eigenschaft nicht 

 besitzt. 



Dieser Begriff ist jedoch offenbar zu enge. Warum sollten nur 

 quadratische Formen (nach Legen dre quadratische Theiler von 

 t 2 -f- Du-) reciprok sein, und nicht Zahlen überhaupt? Oder ist dies 

 blos bei negativen Determinanten der Fall und nicht auch bei 

 positiven? 



Es wird daher am zweckmässigsten sein, D und N dann reciprok 

 zu nennen, wenn N eine in den quadratischen Formen der Deter- 

 minante D vorkommende Zahl ist, und wenn zugleich auch D bei 

 der Determinante N erscheint. 



Ist keine von den Grössen D, N durch 4 theilbar und sind sie 

 entweder selbst oder ihre Hälften prim zu einander, so sind sie nach 

 «^reciprok, wenn sie wechselweise quadratische Reste nach ein- 



