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ander sind. Ist eine ein Nichtrest nach der andern, so kommt ihnen 

 diese Eigenschalt nicht zu. Wäre eine von ihnen durch 4 theilbar, 

 so wie auch wenn beide einen ungeraden Theiler gemein hätten, 

 dann nuisste ihre Reciprocität anderweitig erwiesen werden. 



c) Nach dieser Definition der Reciprocität wird es zwei Haupt- 

 fälle derselben gehen; entweder sind I), N sogenannte negative 

 Determinanten quadratischer Zahlformen, und dieser Umstand ist 

 bei den trinären Formen von grosser Bedeutung; oder stellen D, N 

 positive Determinanten vor. Man könnte wohl noch einen dritten Fall 

 unterscheiden, nämlich wenn D positiv und N negativ wäre; dieser 

 ist jedoch im vorhergehenden enthalten, da in den Formen positiver 

 Determinanten auch negative Zahlen vorkommen, wo hingegen die 

 Formen negativer Determinanten hlos positive Zahlen enthalten 

 können. 



d) Ist in der Form px- -\- 2qxy + ry~, mag dieselbe einer 



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positiven oder negativen Determinante angehören, p zu D oder — D 



m 



prim und zugleich auch mit D reciprok , so besitzen alle zu D und 



i 



falls es oerade wäre, alle zu - D relativen Primzahlen diese letztere 



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Eigenschaft, und es kann diese Form eine reciproke genannt werden. 



Umgekehrt ist eine Form nicht reciprok, wenn darin eine nicht 



1 . . 



reciproke Zahl vorkommt, die zu D oder — D prim ist. Ist nämlich 



N = px' 1 -\- 2qxy -f~ r y~> su erhält man 



pN = (px + qyy + Dy~ — k* + Dy n ~. 



Stellt nun d was immer für eine in D aufgehende ungerade 

 Primzahl vor, so erhält man 



(fr) - (4) -* -(¥)-(-?■) 



Ist daher f-^ 1 -) = 1 , so stellt + p also auch + N einen 



quadratischen Rest nach d demnach auch nach D vor, und es ist 

 nicht nur N eine Zahl der Determinante D , sondern auch umgekehrt 

 D eine Zahl von + A T , d. h. I) und N sind reciprok. Wäre jedoch 



[-^-] = — 1, so kann weder p noch N zu D reciprok sein. 



