Die trinüren Zahlfonueii und Zalilwerthe. 421 



eine reciproke charakterisirt. Was die uneigentlichen trinüren Formen 

 anbelangt, so lassen sich bei ihnen obige Schlüsse nicht anwenden, 

 dieselben können daher trinär sein, ohne desshalb reciprok sein zu 

 müssen, wie sich dies z. B. bei 



D o. 275,(18, 14, 18) = {{•"}. __{J = <&.«. 1K> 



wegen I — - — J = — 1 ereignet. 



Daraus erhellet auch, dass nur reciproke Formen eigentlich 

 trinär sein können. Die propositio inversa — nämlich dass jede 

 reciproke Form auch eine eigentliche trinäre ist, d. h. dass eigentlich 

 trinär und reciprok (bei negativen Determinanten) gleichbedeutende 

 Ausdrücke sind, ist zwar auch richtig, muss jedoch eigens erwiesen 

 werden. 



12. Reciprocitäts-Yerhältiiisse der trinüren Formen. 



Nach der ersten Anmerkung in 7. können zu einer quadrati- 

 schen Zahlform mehrere trinäre Formen, daher auch mehrere trinäre 

 Arten gehören; es wird demnach deutlicher sein, von der Reciprocität 

 der trinären Arten als von derselben Eigenschaft der quadratischen 

 Zahlformen, denen jene trinären Arten zugehören, zu handeln. 



a) In dieser Beziehung enthält die Gleichung 



ccA + x'Ä + a"A" = 



das charakteristische Merkmal der Reciprocität der trinären Art 

 <a,a', «"> bei der Determinante D mit <_A,Ä, Ä'> bei N; 

 denn dieselbe hat erstens ihre Giltigkeit, so oft N eine Zahl von der 

 Form (/>, 2q, r) = < «, «', a" > ist, und zweitens besteht die 

 obige Gleichung, so ist N = A~ -f- Ä' z -j- Ä f ~ eine Zahl aus der 

 Form (p, 2q, r) = <a, a', a"> und umgekehrt D = ol~ -f- a' 2 + a" 2 

 eine Grösse, die in («, 2b, c) = <A, Ä, A"> vorkommt. 



Was den ersten Theil anbelangt, so ist aus Gleichung (8) leicht 

 zu ersehen , dass wenn bei der Determinante D in der Form 



{p , 2q, r) = { . , . ,, \ = < a, a, a > 

 1 3 J { u n n ) 



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