Die trinären Zahlformen und Zalilwerthe. 42«l 



So sind bei D = 77, N = 41 die Formen 

 <2,3,8> = |_3 . I . "H = (6, 2, 13) 

 <-i,6,-2> = j-2 . J . J| _ (5,-4,9) 



reeiprok, und es ist /' = 2 , «/ = 1 , f = 2, ty = 3; man findet 

 aher auch noch 



<4, 5, 6> = |* . '-J . _U = (6, 2, 13) 



<5,-4,0> = \l . ? • ~o} = C 1 ' 41 )' 



woraus man ersieht, dass (6, 2, 13) mit (o, — 4, 9) und (1 , 41) 

 zugleich reciprok ist, dass hingegen der trinären Art < 2, 3, 8 > 

 blos < — 1, 6, — 2> und eben so <4, 5, 6> blos <5, — 4, 0> 

 entspricht. 



Bei Legendre (Nr. 283) kommt dieser Satz mit folgenden 

 Worten ausgedrückt vor: Ist die Zahl N in einem trinären Theiler 

 der Form t 2 -\- Du 2 enthalten, so kommt wieder umgekehrt die 

 Zahl D in einem trinären Theiler der Form t 2 -f- Nu 2 vor, und es 

 sind überdies die correspondirenden trinären Werthe von iVund D 

 dieselben, mag man N als Theiler von t 2 -\- Du 2 oder D als Theiler 

 von t~ -\- Nu 2 ansehen. — Übrigens überzeugt man sich leicht, dass 

 hier sowohl die Auffassung als auch die Durchführung des besagten 

 Theorems eine ganz andere ist. 



b) Eine Folge des eben behandelten Satzes ist die, dass wenn 

 von zwei reciproken quadratischen Formen eine trinär ist, die 

 andere auch trinär sein muss; wäre nämlich das Erstere bei (p, 2q, r) 

 der Fall, und hätte man N = j)f 2 -{- 2g fg -J- rg 2 , so ergeben sich 

 hieraus bei der Determinante N die trinären Werthe A, Ä, A", 



welche die Form (a, 2b, c) = | ^ . ^ . K» \ liefern. 



J | V V V ) 



c) Die Reciprocitätswerthe, d. i. die Grössen f,g, <?, '■p, mittelst 

 welcher N in der reciproken Form von D und umgekehrt enthalten 

 ist, lassen sich nach der hier üblichen Bezeichnungsweise mittelst 

 der Ausdrücke 



2fl» 



