Die trinären Zahlformen und Znhlwerthe. 42 i) 



die Gestalt N = p (x -\- ky)~ — pk (x -f- ky) y -f- ry~ geben; 



ist sie daher liei x = f, y = y lösbar, so wird dies auch hei 



x = f -\- f/k und y = — y stattfinden; oder mit anderen Worten, 



f 

 jede Grösse, die darin mit — vorkommt, wird auch das \\ erthepaar 



besitzen, und nur für q = übergehen beide Paare in — . 



— 9 T ° 



da bekanntlich bei diesen Untersuchungen x, y stets prim zu ein- 

 ander sind. 



Besonders auffallend erscheint dieser Umstand bei N = P, 2P 

 oder überhaupt P" 1 , 2 P"' . wenn die besagte Form einer negativen 

 Determinante angehört, und die ungerade Primzahl P in B nicht 

 aufgeht. Hat dann die obige Form eine Gestalt, an der man es nicht 

 absieht, dass sie eine Schluss- oder Mittelform ist, so kommt in der- 

 selben N mit zwei von einander verschiedenen Werthepaaren vor, 



wo es in jedem andern Falle nur ein Werthepaar besitzen kann. So 



ii 17 

 ist z. B. 11 #2 _|_ 36.ry -f 30?/2 =101 lösbar bei und . 



o J 



Mehr als zweimal kann N, wenn es die obigen Eigenschaften besitzt, 

 in (p, pk, r) nicht vorkommen; denn die Gleichung Nc — b* = D 



ist nur für ein b <— D lösbar, was die Doppelform (N, + 2b, c) 



liefert. 



Anmerkung. Die weitere Erörterung dieses Satzes besonders 

 in Hinsicht der positiven Determinanten gehört in die Lehre von den 

 unbestimmten Gleichungen. 



b) Ist die obangeführte Form eine trinäre. und hat man 



t , -, i m tri m" ) , „ 



(p, pk, r) = { . , . „ > = < a, a, a >, 



so ergeben sich hieraus für jedes A = pf z -\- pkfy -\- ry- zwei 

 Arten trinärer Werthe, nämlich eine bei x = f, y = g und die 

 zweite bei x = f -J- gk, y = — g; sie sind 



A = mf -J- ng, Ä = m'f-\- n'g, A" = m"f'-\- ri'g 



B=m (f-\-fjk) — ng. /?'= m (f-\-gk) — n'g, ß"= m" (f-\-gk) — ri'g. 



Die trinäre Art <a, a', a"> ist demnach sowohl mit < A. Ä, A" > als 

 auch mit </?, B', B"> reciprok. und besitzt daher, so oft diese zwei 

 trinären Arten von einander verschieden sind, doppelte Beciprocität. 



