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14. Jede reciproke Form ist eine trinäre. 



Dieser Satz gilt bei den Determinanten 1 , 2, 3; denn man hat 

 bei 



D=1, (1, i)= jj . J . |}J = <0, 0, I 



= 2, (1,2) = jj . J . _JJ = <0, !,1> 



Z) = 3, (2,2, 2) = jj . J . ~}| - <1, 1, 1> 



und diese Determinanten haben sonst keine anderen reciproken 

 Formen. Es ist daher immerhin erlaubt anzunehmen, dass er seine 

 Giltigkeit bei allen reciproke Formen besitzenden Determinanten von 

 1 bis zu einer gewissen Grenze M habe. Wäre nun N die zunächst 

 höhere Zahl, bei der eine reciproke Form etwa (a, 2b, c) vorkommt, 

 so wird es darin nach Legen dre (Nr. 410 etc.) eine Zahl D geben, 

 die kleiner als iVund zu N oder |iVprim ist. Diese ist daher mit N 

 reciprok, und es kommt N in einer ihrer reciproken Formen, d. i. 

 etwa in (p, 2q, r) vor. Aber (p, 2q, r) ist zugleich auch trinär, weil 

 der Annahme gemäss D< Mist; folglich muss nach 12. b) auch 

 (a, 2b, c) trinär sein. Somit besitzt jede reciproke Form bei JVund 

 daher auch bei jeder höheren Determinante die obige Eigenschaft. 

 Anmerkung. Da jede in einer reciproken Form negativer 

 Determinante vorkommende Zahl, wenn sie auch nicht zur Determi- 

 nante prim wäre, der Bedingungsgleichung in 12. a) Genüge leistet, 

 so sind in den reciproken Formen alle Zahlen reciprok. Desshalb ist 

 es blos in theoretischer Beziehung nothwendig, dass D zu N oder 

 \N prim sei. 



15. Folgesätze. 



a) Mittelst der Theorie der sogenannten linearen Theiler von 

 t z -\- Du' 1 lässt sich nachweisen, dass jede Zahl D von einer der drei 

 Gestalten 4y -f- 1 , 4o -|- 2 und Bf + 3 reciproke Grössen besitze; 

 sie wird daher auch reciproke d. i. trinäre Formen und trinäre Werthe 

 haben, und lässt sich in die Summe aus drei Quadraten zerlegen. 



