Die trinären Zahlformen und Znhhverthp. 4~1) 



b) Weil reciprok und trinär gleiclibedeutende Ausdrücke sind, 

 so kann eine Determinante von der Gestalt 8o -\- 7 keine reciproken 

 Formen haben, da sie keine trinären Werthe besitzt. 



c) Da die reciproken Formen der Determinante 8p -f- 3 die 

 Gestalt (2p, 2q, 2r), wo p, q, r ungerade sind, besitzen, und die 

 Formen von 4^ -f- 1 und 4y -f- 2, wenn x, y prim zu einander sind, 

 keine durch 4 theilbare Zahl enthalten; so kann ein ungerades oder 

 doppelt ungerades N nicht mit 4/) in der eigentlichen Bedeutung 

 reciprok sein. 



d) Jede Zahl lässt sich in die Summe von vier Quadraten zer- 

 legen. Ein Satz, den schon Fermat entdeckt hat. 



16. Jede eigentliche quadratische Zahlform enthält unendlich viele 



Primzahlen. 



In der Form ax % -f- bxy -f- cy* werden um so sicherer Prim- 

 zahlen vorkommen , wenn schon ax~ -\- bx -j- c derartige Grössen 

 besitzt. Hat man nun die Gleichung ax- -\- bx -\- c = pz, wo p 

 eine ungerade Primzahl ist, so lassen sich in x= 0, 1, 2, .. .(p — 1) 

 (Mod.^/) nicht mehr und nicht weniger als zwei Werthe von x finden, 

 die ihr genügen; es verbleiben also in jenen Grenzen noch p — 2 

 Werthe für x, bei denen die Form keine durch p theilbare Zahl 

 enthält. Setzt man daher für x nach einander alle natürlichen Zahlen 

 von bis w, wo w sehr gross gedacht werden kann, so ist bei einem 

 positiven x die Anzahl der durch p untheilbaren Werthe von 

 ax* -f- bx -f- c gleich 



7&-«> — <«-£)■ 



Es kann zwar auch x negativ genommen werden, da jedoch 

 die obige Form manchmal dieselben Zahlen liefert, die bei einem 

 positiven x vorkommen, so mag dieser Fall hier unberührt bleiben. 



Unter den obigen w (l ) Werthen sind ihrer in Bezug auf 



eine andere Primzahl // stets von x = bis x = p -- 1 (Mod.//) 

 abermals p — 2 untheilbar, daher enthält die Form zum wenigsten 



w 1 1 - I II — j Werthe, die zapp' prim sind. Verfährt man 



