432 * i '" e r k a. 



verschwindet, daher Xoy s und um so mehr .<? trotz aller Beschrän- 

 kungen grösser werden kann, als jede angebbare Zahl. 



Folgesätze, a) Die Form (2p, 2q, 2r) bei D = 8p -f- 3 

 wird unter andern auch doppelte Primzahlen enthalten, vorausgesetzt 

 dass p, q, r relativ prim sind. 



b) Jede eigentliche quadratische Zahlform enthält auch Potenzen 

 aus Primzahlen, was aus den Perioden dieser Zahlformen leicht zu 

 ersehen ist. 



c) Auf eine ähnliche Art lässt sich darthun , dass die lineare 

 Form aoß -J- b wo a, b prim zu einander sind, Primzahlen enthält. 



12 4 6 



In diesem Falle ist nämlich s > w X - - X — . • • 



2 3 5 7 



c i r i = * 13 5 



folglich um so mehr .<? > - w .... - X wo dann 



der Beweis denselben Gang wie oben verfolgt. 



Anmerkung. Aus vielen Beispielen lässt sich der Satz abstra- 

 hlen, dass hei jeder Determinante, die sich nicht durch 4 theilen 

 lässt, in jeder eigentlichen quadratischen Zahlform entweder eine 

 Primzahl oder doppelte Primzahl, Potenz oder doppelte Potenz vor- 

 kommt, die kleiner als I) und zu I) oder \D prim ist. In dieser Ab- 

 handlung reicht jedoch das vorstehende Theorem als Prämisse aus. 

 Es ist zwar an sich auch ohne Beweis sehr wahrscheinlich; doch 

 pflegen ähnliche Sätze; in der Mathematik nicht als Axiome ange- 

 nommen zu werden. 



17. Auf wie vielfache Ar! lässt sich eine reeiproke Zahlform in eine 

 trinäre verwandeln? 



ii I Ist die Determinante D eine Primzahl oder das Doppelte 

 einer Primzahl, so weist Legendre (Nr. 278 etc.) nach, dass bei 

 ihr einer quadratischen Zahlform nie zwei trinäre entsprechen können. 

 Nach 14. ist aber jede reeiproke Form auch eine trinäre; daher lässt 

 sich bei dieser Determinante jede reeiproke Form nicht mehr und 

 nicht weniger als einmal in eine trinäre verwandeln. 



Dasselbe geschieht auch, wenn I) die Potenz aus einer unge- 

 raden Primzahl oder das Doppelte einer solchen Grösse ist: übrigens 

 kann dieser Fall auch zum folgenden Punkte bezogen werden. 



b) Besteht I) ans/ Factoren. die entweder Primzahlen oder 

 Potenzen aus Primzahlen sind, und wobei % für keinen Factor ange- 



