Die Irinären Zahlformen und Zahlwerthe. 433 



sehen wird, so lässt sich jede nicht bifide reciproke Form auf 2'~ l - 

 fache Weise in die Summe aus drei Quadraten zerlegen. Ist nämlich 

 (j), 2q, /•) die gegebene Form, so kommt in derselben nach 16. eine 

 Primzahl oder doppelte Primzahl N vor. Wird diese als Determinante 

 angesehen, so enthält sie in ihren Formen laut der Multiplications- 

 regel, wenn in dieser Hinsicht die Vorzeichen der Mittelglieder 

 unberücksichtigt bleiben, 2' -1 Mal die Grösse D. Ein Product aus 

 zwei Factoren erscheint nämlich entweder in zwei verschiedenen 

 Formen oder doch wenigstens bei zwei verschiedenen Werthen von 

 f, g. Ein Product aus drei Factoren befindet sich in vier Formen, 

 oder wenn dies nicht der Fall wäre, so hat es doch vier Werthe für 

 f, g u. s. w. Nun liefert aber jedes Werthepaar eine trinäre Form 

 für D, daher kann (p, 2q, r) nicht mehr als 2' -1 trinäre Formen 

 haben. Es können ihrer aber auch nicht weniger vorkommen; würde 

 man nämlich bei N aus den Formen, die den trinären Arten 

 < ß, ß', ß" > < 7, 7', 7" > zugehören, für D blos 



(11 11 11 ) yi 1 ; 



erhalten, so müsste wieder umgekehrt nach 12. 



ß = ni'j -f- tvp, ß' = m'o -\- n'p , ß" = m"^ -f- n"ty 

 7 = ni'y -f- wp'> 7' = m'f' -f- n''¥> 7" = m"f' + n'ty' 



zum Vorschein kommen, und man hätte 



N = pf* -f 2q<p$ -f rf~ = po'* + 2gry'f + rf * ; 



daher würde N in der Form (p, 2q, r) zweimal vorkommen, und 

 wäre also entweder ein Product aus zwei Factoren, oder müsste 

 (p, 2q, r) bifid sein. Beides widerstreitet aber den Annahmen. 



c) Ist die reciproke Form eine bifide, und besteht D aus i Fac- 

 toren, so lässt sie sich blos auf 2 l ~ 2 fache Art in drei Quadrate 

 zerlegen. Da jede quadratische Zahlform unendlich viele Primzahlen 



und doppelte Primzahlen enthält, so kommt auch hier eine Zahl 



2 

 N > — D vor und zwar nach 13. mit zwei Werthepaaren, aus deren 



jedem eine eigene trinäre Form für N hervorgeht. Aus diesem Grunde 

 lassen sich auch bei der Determinante iVzu denWerthen <ß,ß', ß" > 

 noch <«y, 7'. y"> finden, die für D zugleich <a. «'. a"> liefern. 



