Die trinären Zahlformen und Zahlwerthe. 435 



wobei sich yj, r,', r/' aus Gleichung (13) ergibt, bestimmt, so dass 

 mau zu 



, v im m m" \ . , „ . 



(p.2ff.r)- | w • n , . B „j = <«,«,« > 



gelangt, welchem Ausdrucke man dann, wo nöthig nach 4. die regel- 

 rechte Gestalt geben kann. 



Würde man die trinären Formen von («, 2b, c) nicht kennen, 



so werden sie auf dieselbe Art gefunden, was wegen p < 2 V— 



viel weniger Mühe kostet. 



Übrigens ist nach 14. zur vollständigen Lösung nicht nöthig, 

 dass p, D prim zu einander sind: denn jede trinäre Art der Zahlform 

 (j), 2q, r) ist nach 12. mit einer Art der Determinante p reciprok, 

 wesshalb auch für jedes dieser Reciprocitätsverhältnisse die Grössen 

 f, g vorhanden sein müssen. Beträgt dann die Anzahl der Paare von 

 f, g nicht 2 i_i , so hat wieder (a, 2b, c) mehrere trinäre Formen, 

 oder ist es bifid , daher die Aufgabe immer vollständig lösbar. Die 

 meiste Schwierigkeit macht übrigens die Gleichung 



ax z -\- 2b xy -\- cy z = D, 



die ich zum Gegenstände späterer Untersuchungen zu machen 

 gedenke, da die Periodicität der quadratischen Zahlformen bei ihrer 

 vollständigen Lösung eine bedeutende Rolle spielt. Dieses Verfahren 

 mögen zwei Beispiele verdeutlichen : 



1. Beispiel. Legendre befasst sich in Nr. 313 mit der 

 Form (50, 30, 189) bei D = 922o = 3^ . 5* . 41, die demnach 

 vier trinäre Arten besitzt. Er gibt ihr, um sein Verfahren zu versinn- 

 lichen, die Gestalt (209, 70, 50), weil 209 zu 922S prim ist. 

 Nehmen wir jedoch p = 50 an, so hat man hier die zwei trinären 

 Formen 



(6, -4, 9) = | * . \ . _ * | = <3, 4, 5> 



und 



(1,50) = {o . ? . _?}- <0, 1,7> 



in der ersten Form kommt D mit den Werthen 



