Die trinären Zahlformen und Zahlwerthe. 441 



21. Es ist eine uneigentliche trinärc Art in eine eigentliche zu 



verwandeln. 



Sind <_ap, ap, a"p~> die gegebenen uneigentlichen trinären 

 Werthe, so ist zur Lösbarkeit dieser Aufgabe erforderlich, dassjj 

 ungerade sei, da man sonst liier 47) zur Determinante hätte, die keine 

 eigentlichen trinären Werthe besitzt. Wäre nun p = m % -f- m' z -f- m" z , 



so kann diese Grösse als Scbreiter angesehen werden, und man 

 erhält h = am -\- am -\- a"m". wo die Vorzeichen von m, m, m" 

 so zu nehmen sind, dass h mit p keinen gemeinschaftlichen Theiler 

 erhalte; dann ist 



ß = 2hm — ap, ß' = 2hm -- a ' p . ß" == 2hm" 



K 



Wäre hingegen p von der Form 8y — 1 , daher nicht in drei 

 Quadrate zerlegbar, so muss dies bei 2p geschehen, wo man also 

 2p = m- -\- m' 2 -f- m"~ zum Sehreiter nehmen kann. In diesem 

 Falle ergibt sich, falls man für h den obigen Werth behält, 



ß = hm — «p» ß' = hm' — ap, ß" = hm" — a"p. 



Aus 4. ist ersichtlich, dass die Anzahl der Arten <cß, ß', ß"~> 

 24 nicht übersteigen könne. 



Auch ist es klar, dass die Aufgabe aus D = a~ -\- a~ -\- a' 2 

 und p oder 2p = m 2 -f- m' 2 -f- m" 2 eigentliche trinäre Werthe von 

 Dp 2 zu linden — nur eine andere Version der angeschriebenen ist, 

 da in diesem Falle die Determinante Dp 1 offenbar die uneigentliche 

 trinäre Art <a/>, ap, oc"p^> besitzt. 



Eine eigenthümliche Folge dieser Sätze ist ferner die, dass 

 <0, 0, D> bei 



p = D = cc' 2 -\- a 2 -\- a"~ 



wegen h = ct.", 



D 2 = (2aa") 2 -f (2a'«") a -f- (2«" a — D) ä 



liefert, und dass man eben so aus 2D = a 2 -f- a 2 -\- a" 2 



D 2 = («a")'J -f (a'a") 2 + (a" 2 — I)) 2 



erhält: wodurch man mehrere trinäre Werthe einer quadratischen 

 Determinante leicht ermitteln kann. 



