

Die triniiren Zahlformen und Zahlwerthe. 4.)»> 



Weil hier bei fi, 2 + 13 = 15, so muss nach 19. f ± 1 der 

 Primzahl 3 zugehören. 



b) Es geschieht aber nicht immer, dass man mittelst eines 

 einzigen Schreiters alle trinären Arten findet. Einmal liegt der Grund 

 darin, dass bei p = fv der Zeiger v zu b oder ib nicht prim ist; 

 denn wäre 6 = nb' und v = nv, so haben die Resultate 



t, t + 2tzv', t + 4ttv', 



zu Zeigern, wo jedes T= t (Mod. 2k). Ein anderes Mal geschieht 

 es wieder, dass man ausser der Gleichung am -f- x'm -\- cc"m" = ph 

 bei allen möglichen Versetzungen und Zeichenänderungen von 

 a, a\ et" keine durch p theilhare Zahl findet, wo daher die Operation 

 abbricht. Zahlen, bei denen so ein Abbrechen nicht vorkommt, kann 

 man doppelt schreitend nennen, und es gibt wirklich mehrere der- 

 artige Grössen; ausser ihnen wird es einfache Schreiter geben so 

 wie auch Grössen, die für eine gegebene Form <a, a', a"> zu 

 Schreitern unbrauchbar sind. Dass kleine Schreiter bequemer sein 

 werden als grosse, ist von selbst einleuchtend. 



c) Die mittelst dieses Verfahrens bei einem doppelten Schreiter 

 gefundenen trinären Arten haben in der Periode die Zeiger t, t-\-2v, 

 t -\- 4y, .... Dies ist eine arithmetische Progression, welche nur 

 dann die Glieder der Periode der Reihe nach darstellen kann, wenn 

 t = 1 und 2v = 1 (Mod. 6) ist, was blos bei der Primzahl 

 D = 8^3 -f- 3 geschehen kann. In allen andern Fällen erscheint da 

 die Hälfte der Glieder überschritten, welchem Umstände ich den 

 Namen für diese Operation entnommen habe, da sich sonst kein 

 passenderer darbot. 



d) Die Zeiger der durch Überschreitung entstandenen trinären 

 Arten bilden, wenn man sie mit den kleinsten Zahlen schreibt, eine 

 Periode, und diese ist doppelt, entweder kehren da die Glieder mit 

 dem entgegengesetzten Vorzeichen um, wie dies im Reispiele bei a) 

 der Fall ist, wo man 3, 9, —5, 1, 7, —7, —1, 5, —9, —3: 3, 9 etc. 

 hat, oder geschieht dies nicht, wie bei D = 734, wo 6 = 40 ist, 

 wenn t = 3 und 2v = 8 genommen wird, dass man 3, 11, 19, 

 — 13, —5: 3, ...erhält. 



e) Mit dem hier erwiesenen Satze stimmt auch der Umstand 

 überein, dass fu = <ß, ß', ß"> , wenn die Werthe m, m', m" 

 unverändert bleiben, zum Resultate ft = <a, a', a"> liefert. Es 



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