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woraus sowohl 



2h'm" — « = — (2hm — a) d. i. B = — ß' 



als auch 



2/m" — a' = — (2/<m — a ) oder B' = — ß 



folgt. 



Ferner hat man 



phm"= canm" -+- cd mm" -f- cd'm" 2 

 und 



2ph'm = amm" -f- afmm" — 2a"m 3 , 



was j;/tm" — 2ph'm = a" (2m- -f- m" 3 ) oder Awi" — 2h' m = a" 

 liefert, so dass — bh'm — a" = — (2hm" — a") d. i. B n = — ß" 

 zum Vorschein kommt. Die Folgen hievon sind dieselben wie im 

 vorhergehenden Falle. 



i) Beim Schreiter p = m 2 -\- m 2 -\- m" 2 geben die trinären 

 Arten <a, a', a"> und < — cd, — a, — a" > wie es aus den 

 Gleichungen (36) und (39) zu ersehen ist, nicht nur gleiche Resul- 

 tate, sondern auch gleiche Vorzeichen für kq. Dies dient zur Ver- 

 setzung der trinären Reste <«, «',«">, um so die wenigsten 

 — Zeichen zu erhalten. 



Je) Die trinäre Art <a, od, a"> lässt sich im Allgemeinen 

 mittelst p = m 2 -\- m' 2 -f- m" 2 , falls dies überhaupt möglich ist, 

 doppelt überschreiten, so oft unter den trinären Resten nach p oder 

 lp entweder oder zwei gleiche vorkommen. Gibt nämlich 

 <0, «', «"> ein Resultat, so erhält man aus <0, — a', — a"> 

 das andere, und ist <0, a', a"> schon durch Überschreitung aus 

 einer andern trinären Art entstanden, daher nach 24. e) der Rest aus 

 kq gegen die ursprüngliche Form von p negativ, so wird er hier 

 positiv sein. Nur einige besondere Fälle, wie z. B. bei a = 0, liefern 

 blos eine neue trinäre Art. 



Was die Reste <«, a, a'"> anbelangt, so können die a mit 

 einander versetzt werden, wobei noch alle drei Grössen negativ zu 

 nehmen sind, damit an <a, u', cc"> dem 4. gemäss nichts geändert 

 werde. Dass auch hier nur e i n Resultat zum Vorschein kommt, 

 wenn m = m' , oder a = a' wäre, ist leicht zu ersehen. 



Überdies können jedoch noch viele andere trinäre Arten doppelt 

 überschreitbar sein. 



