Die trinären Zahlformen und Zahlwrrthe. 4l>!) 



noch 2p die doppelte Überschreitung, sondern erst beide zusammen, 

 so dass sie sich in dieser Beziehung ergänzen. Eine solche Eigen- 

 schaft fand ich bei 53 und 106 vor. 



Was die Schreiter anbelangt, die in D oder 2D auf- 

 gehen, so scheinen sie oft eine trinäre Art doppelt überschreiten 

 zu wollen, in der Wirklichkeit ist dies jedoch nicht der Fall; denn 

 wenn auch den Grössen <a, a', a"> eine andere Anordnung gege- 

 ben wird, so erhält man schliesslich doch nur ein Resultat. In 

 Ermanglung eines allgemeinen Beweises, der hier übrigens nicht so 

 leicht aufzustellen wäre, mag dies ein specieller Fall erörtern. Bei 

 p = 14 hat man m = 1, m' = 2, m" = 3 und die trinären Reste 

 <1, 2, 3> , <2, —3, — 1>, <3, —1, 2> u. s. w. Wäre nun 

 <7« -f- 1, 76 + 2, 7c -j- 3> zu überschreiten, so erhält man bei 

 dieser Anordnung wegen 



2h = a + 2b + 3c -f 2, ,3 = — 6a + %b + 3c -f 1, 

 ß' = 2a — U + 0c + 2, ß" = 3a + U + 2c + 3. 



Hätte aber dieselbe trinäre Art die Gestalt 



<lb + 2, — 7c — 3, — 7a — 1>, 



so ist 2/i = — 3« -j- 6 — 2c — 1, was 



7 = — 3« — Gb — 2c— 3 = — ß", / = — 6a + 2& + 3c + i=j3 



7 " = _ 2« -f 3^. — 6c — 2 = — ß' 



liefert. Ähnliches geschieht in allen anderen Fällen. 



Dieser Schreiter kann man sich, wo es angeht, bedienen, um 

 alle trinären Arten, die zu einer quadratischen Zahl form gehören, zu 

 ermitteln, wenn eine bekannt ist; denn wenn p einer Mittelform 

 angehört, so ist nach 23. stets t = u. So hat z. B. 



D = 1785 = 3X5X7X17 



bei (26, 6, 69) die trinäre Art a = <41, 10, 2>; wird diese mit 

 3 überschritten, so liefert sie b = <32, 20, 19>; « mit 5 über- 

 schritten gibt c = <10, 23, 34>, und c mit 3, d = <37, 20, 4>. 

 Wird a mit 7 behandelt, e = <4, 13, 40 >; dann e mit 3, 

 f = <34, 25, 2>; e mit 5, g = <40, 11, 8>, und # mit 3, 

 /« = < 22,25,26 > (vergl. 17). 



