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29. Aas einer quadratischen Zahlform, deren Determinante trinär ist, 



die Quadratwurzel zu ziehen. 



Ist f)n = (P, 2Q, R) die gegebene Form, und hat man bei was 

 immer für einem Werthe von t,ft = <a, a', a">, so wird f (t-\-rri) 

 eine reciproke daher auch trinäre Zahlform sein, falls nur die Auf- 

 gabe überhaupt lösbar ist, und man findet f(t-\-m) = <ß, ß', ß">- 

 Verbindet man diese beiden trinären Arten mit einander, so erhält 

 man wegen u = t -f- m, v = im oder \ (f) -\- ?n) und 



fv = {p, 2kq, li- + rk l ), 



welcher Ausdruck zum Quadrate erhoben die obige Form liefert, 

 daher als tlie Quadratwurzel derselben anzusehen ist. 



Am leichtesten ist diese Aufgabe dann zu lösen , wenn 



ff) = ■ o.a.a' oder a,a,a'> und/'/// =f'(m-\- f )) = <cß,ß',ß"> 



bekannt wäre, da man dann nur die beiden gegebenen trinären Arten 

 mit einander zu verbinden hat. 



Übrigens gebort dieser Gegenstand mehr in das Bereich der 

 Theorie, indem es in den meisten Fällen schwer ist, zu f (t -j- m) 

 die trinäre Art zu finden; daher kann auch die weitere Auseinander- 

 setzung dieser Aufgabe füglich unterlassen werden. 



30. Bemerkungen über die Zerlegung der Zahlen in ihre Factoren 



mittelst dieser Theorie. 



Entsprechen einer quadratischen Zahlform zwei trinäre Arten. 

 so lässt sieb aus ihrer Verbindung nach 28. 7) eine bifide Form 

 ermitteln, wodurch die Determinante in zwei Factoren zerlegt wird. 

 Sind jedoch nicht nur die trinären Arten sondern auch die trinären 

 Formen bekannt, so erreicht man kürzer denselben Zweck auf 

 folgende Weise : 



Nach Gleichung (9) bat man J) — a~ = pn % — 2qnm -f- /•///-. 

 was auch pl) — poc- = ( //// - /////)- + Dm 2 gibt, so dass man 

 hieraus nach Gleichung (12) die Congruenz *? a = — pec 2 (Mod. D) 

 erhält. Eben so liefert die zweite trinäre Art < ß, ß', ß" >, 

 F 3 = — pß 2 > und es ist das Product dieser beiden Ausdrücke 

 (/,))-_, (py.^y- oiler {yiY -\- paß) (vj )' paß) == 0, so dass D 



