liöffler. I}ei(rn<j zum Pioliletiie der Bimliystocliroiie. 53 



Reitruff xiuti Prohlenie der Brachystochrone. 

 Von Alexander Löffler. 



Die Methoden der Variationsrechnung, die Maxinia und Minima 

 der Integralformeln zu finden , haben hauptsächlich darum so viel 

 Verbreitung gefunden, weil sie nicht nur die gesuchten Beziehungen 

 zwischen den absolut und relativ Veränderlichen angeben, sondern 

 auch verschiedene Mittel liefern , die Integrationsconslanten zu 

 bestimmen. Diese Bestimmung geschieht mit Hilfe der Grenzglei- 

 chungen. Auf den Umstand , dass ihre Aufstellung öfters der Natur 

 der Aufgabe widerspricht oder aus anderen Gründen unzulässig ist, 

 schien man bisher nicht zu achten. 



Das Problem der Brachystoclirone, zwischen zwei ihrer Lage 

 nach bekannten Linien, liefert einen Be\\eis für die Bichtigkeit der 

 ^so eben ausgesprochenen Behauptung. Es ist allen Analysten wohl- 

 bekannt, dass Lagrange das Problem der Brachystochrone zwi- 

 schen zwei Curven aufstellte und löste. Die ersten Resultate, zu denen 

 er im zweiten Bande der Miscellmiea Taurinensia gelangte, schienen 

 nicht den Beifall aller At)alysten gefunden zu haben. Unter den- 

 jenigen, welche seine Resultate einer Kritik unterzogen, ist Borda 

 hervorzuheben, da selbst Lagrange sich die Mühe nahm seine 

 Resultate mit denen Borda's in gewisser Beziehung in Übereinstim- 

 mung zu bringen. Miscellanea Taurinensia Bd. 4. 



Von diesem Zeitpunkte an unterlagen die Grenzgleichungen 

 keinen AngrifTen mehr. In einer Abhandlung, welche sich in den 

 Sitzungsberichten der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften für 

 18S9 abgedruckt befindet, habe ich versucht zu zeigen, dass die 

 Grenzgleichungen im allgemeinsten Falle die nothwendige Anzahl 

 von Bedingungsgleichungen nicht geben. 



Der Grundsatz, auf den ich mich stütze, ist : „dass die Differen- 

 tialien und V^ariationen an den Grenzen ein und dasselbe sind". 



