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Vorausgesetzt, dass die Gleichung der Cyeloide allgemein 

 y' =^ n (.r«i «a) liefert, so müssen die Constanten nach Lagrange's 

 Methode mittelst der zwei Gleichungen 



TZ (rt rt, (lo) = n {b iii «3) = 



hestimmt werden. 



Die zweite von ihnen ist zulässig, die erste aber nicht. Mau 

 muss vielmehr, weil das erste Element der Cyeloide mit der Verti- 

 calen zusammenfallen muss und nicht horizontal sein kann, die 

 Bestimmung der Constante «3 mittelst der Gleichung ;: («aj «3) = 00 

 vornehmen. Unter diesen Umständen verschwindet aber ^t^nicht. — 

 Es ist vielmehr oU = 00 für iü = a und die Grundbedingung des 

 Problemes wird nicht in ihrem vollen Umfange erfüllt. — Es bleibt 

 uns jetzt noch übrig in Kürze den Grund anzugeben, warum die bis 

 jetzt erhaltenen Resultate in Beziehung auf die Rrachystochrone 

 zwischen zwei gegebenen Curven y ^ f (o?) y = '^ G^") ungenau 

 ausfallen mussten. Bei diesem Problem ist bekanntlich in dem 

 Integrale 



U 



r dxVi^y"' 



j VJ^ 



die Anfangsordinate A einer Variation zu unterwerfen. Auf diese 

 Art gelangt man der Autlösungsmethode aller Analysten folg:nd zu 

 den zwei Gleichungen 



oa?i -f- y'oyi = ox% -\- y'^yz = 



in welchen y' als Function von x niittelsl der Gleichung der Brachy- 

 stochrone auszudrücken , und der Grösse :v dann der Werth a'o 

 beizulegen ist. Man kann annehmen, dass die Gleichung der Cyeloide 

 zur Relation y' ^= n (.rr/, fi.) führt. Die Grenzcurven geben, da man 

 die DilTerentialien mit den Variationen identificirt, 



und man erhält auf diese Art ziw Bestimmung der Conslanten und 

 der Grenzwerthe des liilegriiles folgende vier Gleichungen : 



1 -f 'j>' (.j-,) /T (a-o rt, «,) .^ 14- -y (.t%) n (,v.. ((, ((2) = 



f (.r,) = F f.r, (u '/.) -^ (.^•2) = F (.r, a, a,) 



unter y = F (a-', «j (i.) die Gleichung der Cyeloide verstanden. 



