nicht mit dem Scheitel S der Cycloide, deren Taiijjenfenlinie vertical 

 ist, zusammenfällt. Dies eben entspricht der Anschauungsweise 

 Hör das, Lagrange's und Poisson's. 



Borda's Abhandlung befindet sicii in den Pariser Memoiren für 

 das Jahr 1707 und hatte in Beziehung auf die Brachystochrone den 

 Zweck zu zeigen, dass die von Fjagrange im zweiten Bande der 

 MiHcelhuiCd Tdurinoisia gegebene Autlösung dieses Problemes in 

 Beziehung auf die Grenzgleichung des Anfangspunktes der Bewe- 

 gung nicht zulässig sei, weil selbe das Senkrechtstehen auf der 

 ersten Grenzcurve bedingt. Poisson aber bemerkt in den Pariser 

 Memoiren für 1833, dass es ßorda gelungen sei, die hier sich 

 entgegenstellende Schwierigkeit zu überwinden. Borda übersah 

 aber, dass seine Auflösung, welche durch die Fig. 1 repräsentirt 

 wird , im Allgemeinen bei beliebiger Lage der Grenzlinien gegen die 

 Coordinatenaxen auch nicht zulässig ist, weil in diesem Falle der 

 materielle Punkt (//) sich auf eine grössere Höhe (a) erheben müsste, 

 als die ist (if), von welcher er gefallen, was gegen die Grundsätze 

 der Mechanik verstösst. 



Übrigens ist auf den Umstand wohl zu achten, dass zur Bestim- 

 mung der fünf Unbekannten a, «2 Xx x% A die gegebenen vier Grenz- 

 gleichungen nicht hinreichen, denn wenn es uns auch gelingen 

 würde, die Grössen «, a^x^ .r.j mittelst der bestimmten Parameter, 

 welche in den Gleichungen der Grenzlinien vorkommen, auszudrücken, 

 so würde in einer, oder in einigen, Grenzgleichungen noch die unbe- 

 kannte Grösse A vorkommen. 



Die Gleichung an der unteren Grenze 1 -j- ^J^' (a"i ) ;r (.t'a «, «3) = 

 ist hauptsächlich darum als unbrauchbar anzusehen, weil sie nicht 

 anzeigt, dass das erste Element der Bewegung der Cycloide mit 

 liorizontaler Basis vertical ist. Wollte man aber dies als selbstver- 

 ständlich voraussetzen, und diese Thatsache in Verbindung bringen 

 mit den vier früher erörterten Grenzgleichungen, so käme man zu 

 dem Schlüsse , dass das letzte Element der Brachystochrone auch 

 vertical ist. 



Bei beliebiger Lage der Grenzlinien ist es nicht möglich diese 

 fünf Bedingungen mit den Principien der Mechanik in Übereinstim- 

 mung zu bringen, nur wenn die Grenzlinien zwei tiefste Punkte 

 besitzen, die in einer llorizdutaleii gelegen sind, kann öfters die 

 Lösung in allen l'unkten als befriedigend angesehen werden. 



