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Diese Gleichung besagt, dass auch die Tangeiilen der Summen 

 und Differenzen zweier tautozonaler Kantenwinkel rationale Vielfache 

 der dieser Zone entsprechenden Quadratwurzel sind. Dieser Satz 

 lässt sich eben so leicht auf die Summen und Differenzen beliebig 

 vieler tautozonaler Kantenwinkel ausdehnen. Die nachfolgenden Sätze 

 5 und 6 gelten daher auch für solche Summen und Differenzen. 



5. Aus den vorhergehenden Gleichungen folgt ferner, dass auch 

 die Ausdrücke 



, tan a. tan y, tan a~ 



tan y 



rational sind. Aus dem letzten Ausdrucke ergibt sich aber leicht nach 



bekannten goniometrischen Formeln, dass auch 



sin «2^ cos a^, cot a- 



rational sein müssen. Man kann daher sagen -.Die goniometrischen 

 Functionen irgend einer Krystallkante lassen sich durch 

 Quadratwurzeln ausdrücken, wobei selbstverständlich ratio - 

 nale Werthe nicht ausgeschlossen sind. 



6. Man hat allgemein die Gleichung 



cos 2a = cos «2 — sin a~. 



Stellt nun a die Grösse einer Krystallkante dar, so ist zufolge 

 des vorhergehenden Satzes cos 2a rational. Es ist daher auch der 

 Cosinus einer Kante, welche möglicherweise durch eine Krystallfläche 

 gerade abgestumpft werden kann, rational, da dieselbe alsdann aus 

 zwei gleichen Winkeln besteht. Die Cosinusse der Kanten eines Rhom- 

 boeders, einer rhombischen Pyramide u. s. w. sind daher rationale 

 Grössen. 



7. Die Flächen einer Zone genügen aber auch schon dem zwei- 

 ten Gesetze, wenn die Tangenten der Winkel, welche blos eine 

 Fläche mit den übrigen tautozonalen Flächen einschliesst, rationale 

 Vielfache derselben Quadratwurzelgrösse sind. Denn alle übrigen 

 Kantenwinkel dieser Zone lassen sich als Summen oder Differenzen 

 der ersteren Winkel auflassen, und folglich ist es leicht zu zeigen, 

 dass ihre Tangenten ebenfalls rationale Vielfache derselben Quadrat- 

 wurzel sind. 



8. Hat man daher eine Anzahl tautozonaler Flächen , welche 

 dem zweiten Gesetze genügen und die daher Kanten bilden , deren 



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