J528 ^'- I^ang'. Ülier das Gesetz der rationalen Verliältnisse 



Tangenten rationale Vielfache einer und derselben Quadratwurzel 

 z.B. VL sind, so genügt auch eine neue Fläche S in dieser Zone 

 dem zweiten Gesetze, wenn sie mit einer der ersteren Flächen z. B. 

 P einen Winkel einschliesst, dessen Tangente ebenfalls ein rationales 

 Vielfache vonf'L ist. Denn alsdann sind die Tangenten aller Winkel, 

 welche Pmit den übrigen Flächen, S mit inbegriffen, bildet, rationale 

 Vielfache einer und derselben Quadratwurzel , daher nach 7 alle 

 Flächen dieser Zone dem zweiten Gesetze genügen. 



9. Die neu hinzutretende Fläche S genügt auch dann nach dem 

 zweiton Gesetze, wenn sie mit der Fläche P einen Winkel a = 90<* 

 einschliesst. Die Richtigkeit dieses Satzes ist zufolge 8 leicht ein- 

 zusehen, da 



tan r/. = oo = oot/Ay (2) 



ist, die Grösse oo aber in dem letzten Producte als rational zu be- 

 trachten ist, daher in verschiedenen Kryst{»llzonen Kantenwinkel 

 gle'ch 90» beobachtet werden. 



iO. Sind die Elemente eines Flächencomplexes derart bestimmt, 

 dass jede Fläche, die zufolge des ersten Gesetzes möglich ist, auch 

 dem zweiten genügt, so findet auch das Umgekehrte Statt, wie sich 

 folgendermassen zeigen lässt. 



Sind A, B, C, P vier der gegebenen Flä- 

 chen, die Fläche iS" aber so beschaffen, dass 

 sie mit B und C dem zweiten Gesetze genügt, 

 so soll nachgewiesen werden, dass unter obiger 

 Voraussetzung die Indices der Fläche S sich 

 wie rationale Zahlen verhalten. Die Richtungen 

 der Axen sollen bestimmt werden durch die 

 Durchschnitte der Flächen A, B, C, die entsprechenden Axenlängen 

 a, 6, c aber durch die Fläche P. Zieht man den Zonenkreis AP, so 

 stellt der Durehschnittspunkt Q der beiden Kreise AP und BC nach 

 einem bekannten Lehrsatze der Krystallograpliie den Pol einer Flä- 

 che dar, welche dem ersten Gesetze genügt; da angenommen wurde, 

 dass jede solche Fläche auch dem zweiten Gesetze gehorche, so muss 

 auch für die drei Flächen B, Q, C dieses Gesetz bestehen. 



F'ür die Symbole der einzelnen Flächen kami man nun nach dem 

 Vorhergehenden setzen 



i(100), i?(Oin), C(001). P(111), (?(011), S(okl) 



