der Taiigi'iiteii tautozuiialer Ki ystiillkaiiteii. D»} l 



dieser Flächen zu einander. Mau liat nun allgemein die 

 Gleichung 



cos B cos C = cos a sin B sin C — cos A', 

 quadrirt man diese Gleichung, so findet man hieraus leicht 

 cos a cos ^ sin 5 sin C^= \ {cos a~ sin B- sin C^-j- cos A' — cos B^ cos C^\ ; 

 im rechten Theile dieser Gleichung sind die Quadrate zufolge 5 und 

 14 alle rational, es sind daher auch die Producte 

 cos a cos A sin B sin C 

 cos ß cos B sin C sin A 

 cos Y cos C sin A sin B 

 rational, indem der Beweis für die letzten zwei Producte sich schon 

 aus der Symmetrie der Buchstaben ergibt. Eben so leicht beweist 

 man die Rationalität der folgenden Ausdrücke: 

 cos a cos A sin^ sin y 

 cos j3 cos B sin y sin a 

 cos Y cos C sin a sin ß. 

 Die vorhergehende Gleichung kann man auch so schreiben 



cos A -\- cos B cos C = cos a sin B sin C, 

 quadrirt man nun wieder, so findet man, dass das Product 



cos A cos B cos C 

 rational sein muss; auf ähnliche Weise ersieht man, dass auch 



cos a cos/9 cos 7- 

 rational ist. 



16. Um die Bedingungen zu finden, welche die nach dem ersten 

 Gesetze bestimmten Elemente erfüllen müssen, damit auch das zweite 

 Gesetz bestehe, drückt Naumann*) zuerst die Tangenten zweier 

 tautozonaler Kanten durch die Elemente und die Indices aus und 

 untersucht nun , unter welchen Bedingungen das Verhältniss dieser 

 Tangenten rational wird. Etwas einfacher würde sich die Rechnung 

 gestalten, wenn man, statt das zweite Gesetz in seiner ursprünglichen 

 Form anzuwenden, eine der Folgerungen daraus benützte und etwa 

 untersuchte, unter welchen Bedingungen das Quadrat des Cosinus 

 einer beliebigen Kante, wie es Satz 5 erfordert, rational wird. Leicht 



1) Naumann, Über die Rationalität der Tangenten-Verhältnisse taulozonaler Krystall- 

 flächen. Abhandl. der k. sächsischen Gesell, d. Wissensch. Bd. IV (1833), S. 307. 



