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V. Lall!'. Über »las C)iete(z der raliuiiiiluii Verliältiiibse 



ergeben sieh diese Bedingungen auch mit Hilfe der sphärischen 

 Krystallographie, wie nun gezeigt werden soll. 



Es seien A, B, C, P die Pole der Kry- 

 st<illt)ächen 



J(lüO), /^(OIO), 6'(001), P{hkl), 

 a,b,c die Längen der entsprechenden Axen, 

 und wie früher BC=a., AC--=ß, AB =y. 

 Die heiden Zunenkreise AP und BC schnei- 

 den sich in dem Punkte Q, dem Pule von (o/i/). Da jede nach dem 

 ersten Gesetze mögliche Fläche auch dem zweiten gehorchen soll, 

 so müssen auch B, Q, C dem zweiten Gesetze genügen. Allgemein 

 hat man nun für Q wie früher die Gleichung 

 k b sin Y sin QC 



l c sin/J 



hemerkl man , dass a 



sin QU 

 BQ-\- QC ist, so findet man hieraus leicht 



Ä sin j' 1 k ( tan a \ 



c sin ß cos a l ^tan QC ' 



Da im rechten Theile dieser Gleichung die Verhältnisse — und 



tau 



- rational sind, so muss auch der linke Theil rational sein. Ähn- 

 tan QC 



liehe zwei Gleichungen erhält man, wenn man die Zonenkreise BP 



und PC zieht und die Flächen R und S betrachtet. 



Es müssen daher folgende drei Ausdrücke 



b s\ü Y 1 c sin« 1 a sin/3 1 



f sin ß cos a a sin y cos ß b sin a cos y 



rational sein. Quadrirt man diese Ausdrücke, so findet man, zufolge 



5, dass auch 



Äa 



— , — rational sind. Da man eine der Axenlängen 



beliebig gross, also auch rational annehmen kann , so folgt hieraus, 

 dass auch die Axenlängen eines Krystalles sich zu- 

 folge des zweiten Gesetzes durch Quadratwurzel müs- 

 sen darstellen lassen; uucli liier sind natürlich rationale Zahl- 

 werthe nicht ausgeschlossen. Man kann daher die Quadrate der 

 Axenlängen als rational betrachten. 



Multiplicirl man die letzten Ausdrücke der Reihe nach mit den 

 rationalen GrössL'U 



c- sin ß- cos «■', rt~ sin y^ ccs/9-, h^ sin o.- cos y-. 



