der Taugeulen lauto/;oiialer Krystallkaiiteii. 5oO 



SO erhält man die Producte 



bc sin ß sin j cos u 

 ca sin y sina cos/3 

 ab sin a sin ß cos 7-, 

 welche daher ebenfalls rational sind. Diese Bedingungen, welche die 

 Elemente eines Krystalles erfüllen müssen, erhalten die einfachste Form, 

 wenn man sie der Reihe nach mit den nach 15 rationalen Producten 

 cos a cos A sin ß sin y, cos ß cos B sin y sin « , cos j cos C sin a sin ß 

 mültipliciri Mansiehtalsdann, dass zufolge 3 und 14 auch die Ausdrücke 



bc cos A, ac cos B, ab cos C 

 rational sein müssen. Multiplicirt man endlich diese Ausdrücke der 

 Reihe nach mit den rationalen Producten 



cos« cos^ sin B smC, cos /9 cos B sin Csin A, cos r cos Csin A smB, 

 so zeigt sich, dass auch die Ausdrücke 



bc cos a sin B sin C 



ca cos/9 sin Csin A 



ab cos Y sin ^ sin C 



rationale Werthe haben; dieses sind aber dieselben Bedingunge.. für 



Elemente eines Krystalles, zu welchen Naumann ») auf dem vorher 



bezeichneten Wege gelangte. 



17. Wie aus dem Vorhergehenden und vorzüglich aus dem 

 Satze 10 hervorgeht, greifen die beiden Gesetze theilweise in ein- 

 ander über, und es liegt daher der Gedanke nahe, einen einzigen 

 Lehrsatz aufzustellen, welcher den beiden Gesetzen äquivalent ist. 

 Ein solcher Satz, welchen man vielleicht das 

 Gesetz der vier K rystall flächen nen- 

 nen könnte, ist folgender. Sind P, Q, R, S die 

 Pole von vier Krystallflächen, unter denen 

 höchstens zwei parallele ^ sein dürfen, und 

 legt man durch je zwei dieser Pole Zonenkreise, etwa durch P, Q 

 und R, S, welche sich in schneiden, so verhalten sich 



tan FQ, tan PO, tan OQ 

 so wie drei rationale Zahlen. Eine älinliche Proportion gilt auch für 

 den andern Zonenkreis RS. 



U Um hrungen z. venMeideu Len.erke ich, dass N a u n. a .. n zwar .lieselhen Bacl.slaben 

 o-ebraucht, die Bedeutung der Buchstaben «, ß, Y und A. B, C aber vertauscht .st^ 



2) Tn diesem FaUe mussteu die Zonenkreise so gebogen werden, dass keine der Zonen 

 unbestimmt wird. 



