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Es ist nun zu zeigen, erstens dass der aufgestellte Lehrsatz 

 wirklich wahr ist, d. h. sieh aus den heiden Gesetzen folgern lässt, 

 und zweitens dass man auch umgekehrt die beiden aus demselben 

 ableiten kann. Das erstere lässt sich leicht beweisen. Denn sind P, 

 Q, R, S die Pole von vier Krystallflächen , so folgt aus dem ersten 

 Gesetze, dass auch die Fläche, deren Pol der Durchschnittspunkt der 

 beiden Zonen PQ und RS ist, demselben Gesetze gehorcht und also 

 eine möglicherweise vorkommende Fläche ist; für die drei Krystall- 

 flächen P, 0, Q, welche in einer Zone liegen , ergibt sich aus dem 

 zweiten Gesetze sogleich die obige Proportion. 



Diese Proportion muss aber auch dann noch gelten, wenn S 

 schon ursprünglich in den Zonenkreis PQ zu liegen kommt und also 

 mit zusammenfällt. Man sieht hieraus, dass zufolge des aufgestellten 

 Satzes für je drei Flächen einer Zone eine ähnliche Proportion gilt, 

 und es ist leicht einzusehen, dass daher die Tangenten aller Kanten 

 einer Zone sich wie rationale Zahlen verhalten. Es ist somit gezeigt, 

 dass sich das zweite Gesetz aus dem obigen Satze herleiten lässt, und 

 es bleibt noch übrig nachzuweisen, dass auch das erste in demselben 

 enthalten ist. Dieser Beweis gestaltet sich aber ganz ähnlich , wie 

 der des Satzes 10, indem man vier Flächen zur Bestimmung der 

 Elemente wählt, und von jeder neu hinzutretenden zeigt, dass unter 

 Voraussetzung des angenommenen Lehrsatzes ihre Indices sich wie 

 rationale Zahlen verhalten müssen. 



Der aufgestellte Satz fasst nun wirklich beide Gesetze in eines 

 zusammen, doch ist er nicht verwickelter als dieselben, im Gegen- 

 theile erweist er sich darin einfacher, dass er sich blos auf je vier 

 Flächen bezieht, während das erste Gesetz wenigstens fünf ver- 

 schiedene Flächen voraussetzt. Man hat ferner nicht nöthig, wenn 

 man die Grundgesetze der Krystallographie in dieser Form aufstellt, 

 die Definition von Krystallaxen und Axenlängen vorauszuschicken : 

 insoferne von Vortheil, als dieselben doch eine untergeordnete Be- 

 deutung haben , da es ja mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie 

 wenigstens immer möglich ist das Krystallsystem, die Symbole aller 

 Flächen und ihre Neigungen gegen einander zu bestimmen, ohne erst 

 die Piichtungen und Längen der Krystallaxen aufsuchen zu müssen. 



