Einige alln;eiiieiiift Siil/.c zur 'rhcorie ilfi- Reihen. 677 



und vvenr» man so fortfährt, bis die rechte Seite mit A„ als erstem 

 Gliede anfängt, so wird man, wie leicht zu sehen, die Gleichung 

 haben : 



1 .1,1 1 ,r(^) 



<p'(x) y'(a;) (p'(x) y'(a-) <p' {x) 



dx»-^ 



1 1 1 V 



d — — . . . d . 



1.2.3.. .iiAn -f -^-^ — ^-^-^ — ^-^—^ ^-— ^ i-^...(2) 



Um hieraus A,tn für o? = a unabhängig von V , bestimmen zu 

 können, ist es nothwendig und, wie sich zeigen wird, auch hin- 

 reichend, anzunehmen, dass sowohl t^ selbst als auch seine n ersten 

 Differentialquotienten für x = u verschwinden, und diese Bedingung 

 findet Statt, wenn 



U = u(p (07)"+ » 



gesetzt, und angenommen wird, dass weder n noch seine n ersten 

 Differentialquotienten für iv = a unendlich gross werden. Denn es 

 ist alsdann : 



<p' (a) 



^^■^•>"[»'7^) + ^"+'^"] 



und man erkennt auf der Stelle, dass, wenn noch ii — 1 Differen- 

 tiationen in der durch die Gleichung (2) angedeuteten Weise vor- 

 genommen werden, jedes Glied des Resultates den Factor <p (^'j 

 mindestens in der ersten Potenz enthalten wird, dass dasselbe also 

 in der That verschwindet, wenn .r = a gesetzt wird. Hiernach 

 erhält man nun : 



1 



An 



. n L dx'^— ' J X = « 



1.2.3. 



Es ist klar, dass, wenn man die Reihe, ohne Berücksichtigung 

 des Restes, in's Unendliche fortlaufend gedacht hätte, für A„ ganz 

 derselbe Ausdruck erhalten worden wäre. 



