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2. 



Aus der Vergleichung des soeben für An abgeleiteten Ausdruckes 

 mit dem gewöhnlichen ergibt sich zunächst, dass, wenn <p (.f) eine 

 Function von der Beschaffenheit ist, dass die Gleichung y? (.*•) = 

 nur die einfache Wurzel .v = (i zulässt, und wenn nach Ausführung 

 allerDifterentiationendurchgehendscy = «gesetztwird, die Gleichung: 



1,1,1 1 ^ f'('V) 



d . 



''-'[(^^ri^^] 



f' (-f) <P' (^0 9 (•»-•) <P' G'g) 9' (■^•) 



c?a-«-' rf.r"— 1 



stattfindet. 



In Bezug auf die wirkliche Berechnung des Coefficienten A 

 dürfte die am Schlüsse des vorigen Artikels gefundene Formel in 

 den meisten Fällen der dem Anscheine nach kürzeren und einfacher 

 zu handhabenden Formel von Bürmann vorzuziehen sein. Die 

 erstere gibt nämlich kein Glied mehr und keines weniger als zur 

 Bildung des Coefficienten geradezu nöthig ist und liefert diesen nach 

 ausgeführter Differentiation in seiner, im Allgemeinen einfachsten 

 Form, während der gewöhnliche Ausdruck, nachdem alle Differen- 

 tiationen ausgeführt sind, immer noch eine wesentliche Reduction 

 durch gegenseitiges Aufheben von Gliedern zulässt, ja fast in allen 

 Fällen eine solche nothwendig macht, indem sich nach Einsetzung 



des besonderen Werthes a? = « die unbestimmte Form — einstellt. 







Dieser Umstand scheint um so mehr Berücksichtigung zu verdienen, 

 als die oben entwickelte Form, wie man bemerkt haben wird, sich 

 auf die natürlichste und einfachste Art herleiten lässt. Sie hat aber 

 zugleich noch den weitern Vortheil, dass sie sich zur Bestimmung 

 des Restes ?7 leicht verwenden lässt, wie ich nun zeigen werde. 



3. 

 Aus dem Vorhergehenden ergibt sich, dass, wenn: 

 fix) = A + A,ip{x) + A.^ip{xy + . . . + An<p{.vY + r 



gesetzt wird , die Differentialgleichun«^ 



111 I V 



d 



<p'{x) (f'jx) y'(.T) y'(.rj y'(a-) _ 



f/a-»-' 

 111 1 /"(a) 

 d d . . d '^— 



(p'{x) <p'lx) (P'(.t) <p'{x) <p' {x) •,,.., . 



; — ■ v .1 .6. . . nA„ 



