Einige allgemeine Sätze zur Theorie der Reihen. 681 



setzt, weil alsdann die n — 1 ersten DifTerentialquotienteii nach x 

 in der That verschwinden, sobald man nach geschehener Differen- 

 tiation t = v setzt. Ferner lässt sich alsdann der Ausdruck unter 

 dem Integralzeichen leicht entwickeln, und findet man: 

 111 i dF (aT,0 



SO dass nunmehr zur näheren Bestimmung der Function <^ (t) die 

 Gleichung: 



1.2.3...;// (l'{t)(lf = I I 



dx"—^ J a 



r f^ 



2.3...;// (p{t)dt = Y-^ 



ührig bleibt. Diese lässt aber nicht lange in Zweifel, welche Form 



für ^(0 anzunehmen ist; offenbar muss man setzen: 



111 1 /"(O 

 d d — — d . . . . d 



f . _ « y'(0 y'CO y'O) y(0 y'(0 



^ ^ ^ 1.2.3..« ■ rf;» 



um jener Bedingungsgleichung identisch zu genügen. 



4. 



Durch die im Vorhergehenden erlangten Resultate ist nunmehr 

 die Aufgabe gelöst, da durch sie sowohl die Coefticienten als auch 

 der Rest der Reihe bestimmt sind. 



Theorem. Wenn die Function cp {x) für x = a ver- 

 schwindet, und wenn: 



f{x) = ^0 + A,<p{x) + A^f{xy + . . + Anipixy + U 



gesetzt wird, so ist: 



Ao =/•(«) 



d d . . . d 



1 I y, (.r) y'(a-) <p' (x) <p' (x) y' (a-) 



1 1 1 f'(t) 

 [^Or) - ^(0]" — fit 



