Kinig-p allgemeine Siitze zur Tlieorie der Reihen. 685 



i.2.'S. . .))iA.2.'S. . .t, . P,,.,. = 



d d ...d .d d ...d . ' 



<i>'(x) 4''(y) <p'(x) <p'(x) (p'(x) (p'(y) <P'(y) 4>'iy) dx dy 



dx>"—* dy"—^ 



für .r = (t. y = h, 



indem sämmtliche Coefficienten so bestimmt werden , dass der 

 Ausdruck: 



1 11 111 1 dnr 



d d . . . d . d d ... d 



<p'(^) 'P'jy) y'G-g) <p'i^} <p'(x) ^'(y) <P'(y) " 4''(.y)'dxdy 



dx'"-* dy"^* 



inv X = a, y =^ b 



verschwindet. Wie sich zeigen wird, erhält U in der That eine 

 Form, durch welche diese Bedingung erfüllt wird. 



Zur Bestimmung des Restes V , womit ich mich nun beschäfti- 

 gen werde, hat man, dem Vorhergehenden zufolge, die Gleichung: 



1 1 ! 111 1 d^U 



d d . . . d d d — — . . . d 



0\x) <p'(y) y'(a,-) <p'(x} a>'(x) 4>'(ji) (p'jy') 4''(y)dxdy _ 



1 11 111 1 d^f(x,y')~i^=^\y=y 



d .-.d d d ...d- 



y'(^)^'(y) y(^) y'G^) y'(^) ^'(.y) ^''(y) 4''(y) dxdy i 



dx"'—^dlj"—* Jx=a,y=b 



Man kann aber, um U zu finden, auch einen mehr directen 

 Weg einschlagen, der, als der kürzere, vorzuziehen ist; die soeben 

 angeführte Gleichung lässt sich dann zur Prüfung des Resultates 

 benutzen. Zu dem Ende denke man sich, die Reihe sei in die Form 

 gebracht : 



f(x,y} = M, + R^ifix) + R2<f(^y + • ■ • + Rn,<fia^y" + ", 



wobei Ro, Rx, Rz- ■ R.n nicht blos die bis zur Potenz (Jj (y)" fort- 

 gesetzten EntWickelungen, sondern die vollständigen Werthe 

 der Coefficienten, in unentwickelter Form darstellen, und u der 

 dieser Bestimmung entsprechende Rest der Reihe ist. Unter dieser 

 Voraussetzung hat man, dem Vorhergehenden zufolge: 



