Einige ;illp:('im'iiit' Siitze zur Tlieorie ilcr l!eili<*ii. q9 ] 



10. 



Als zweiten besonderen F;ill will ich annehmen , die Function 

 f'{x,y) sei eine nach x und y s yniinetrisehe und daher 



Zugleich nehme ich die beiden Functionen <f und ^ als der Form 

 nach identisch an, so dass: ^ (o?) = ^ (.r) und also die Reihen- 

 entwickelung nach Potenzen von f (^■) und ^ (y) fortschreitet. Es 

 ist eine nothwendige Folge dieser Annahmen, dass auch der Coeffi- 

 cient P,„,„ symmetrisch nach den Zeigern m und n sein muss und 

 dass also 



P — P 



wobei dieser Coefficient gegeben ist durch die Gleichung: 



1 11 1 1 i i d^fix.y} 



d d . . . d d d . . . d 



(p'[x)(p\y) (p'(x) <p' jx) y'(a-) <p'iy) y'(y) <p'{y) dx dy 



rn\ lüdx"'—^ dy>^-^ 



für x = a, y = a. 



In Folge der bezeichneten Annahmen wird zugleich die Doppel- 

 reihe beträchtlich einfacher als im allgemeinsten Fall; sie lässt sich 

 explicite wie folgt darstellen: 



r(.v,y)= [/'co + (^ (.^0 + ^ (//) Po.^ -f 



+ (^(.r)-'-f ifiyy) P,,s +...] 



+ (f'Ovy ifiy)- IP,,, + {ip{x) + ip(y) P,.s + 



+ (<pia:y^ <p{y)')PzA +•■•] 

 + 



+ f{.^y f(yy [Pn.n -f (<P(^-) + <P(y) P".n + i + 



+ (<pi^r- + <f (yy-) P'>.n+2 + . ■ .] 

 + 



