Einige allgemeine Sätze zur Theorie der Reihen. 09ö 



Nimmt man weiter an, es solle: 



f{x + 1/) = sin {x + y) 



nach Potenzen von sin x und sin y entwickelt werden, so ist liierfür 

 a = zu setzen und erhält man allgemein : 



/•(*")(0) = 0, /•(*"+'^(0) = + 1 . /•("'+'\o) = , /•f*"+'\o) ^ — 1 , 



so dass in diesem Falle 



i>0,0 = 0, Po,l = l .Pü2=0,Po,3=0 , Po,*=0 



Für alle übrigen Coefticienten erhält man den Werth Null, so 

 dass sich die folgende Reihe ergibt: 



sm 



in {x + 2/) = sin x + sin i/ — sin x s\uy\-^ (sin x -f sin y) -j- 

 \ 13 I 



+ Vi ^^'"' '^ "^ '^'"' y^ + an ^*^"' ^^ ^ ^*"' -^^ "^ ■ ■ I 



Diese Gleichung, welche auch auf andern» Wege leicht erhalten 

 werden könnte, findet, wie bekannt, u. a. bei Entwickelung dioptri- 

 scher Reihen ihre Anwendung. 



12. 



Sowohl von der Burma nn'schen als der nach Potenzen zweier 

 Functionen fortschreitenden Entwickelung lassen sich Anwendungen 

 auf die Transformation gegebener Reihen machen. Um einige hier- 

 her gehörige Fälle zu betrachten, nehme man zunächst an, es handle 

 sich darum, eine gegebene Reihe: 



F{x) = «0 + «1 a? -f OzX- . . . . + finX" -f • • • 



in eine andere zu verwandeln, welche die Form hat: 



F{x) = fix) [A, + A,f{x) + A,<p {xy + . . H- ^„^(.r)» + . .] 



