Einige aiig-emeine Sätze zur Theorie der Reihen. 699 



Für die Bestimmung der Coefficienten , welche durch diese 

 Gleichungen gegeben sind, kann auch noch das folgende Verfahren 

 bezeichnet werden. 



Lässt sich aus der Gleichung: 



n = (f (x) 



der VVerth von x als Function von u in endlicher Form entwickeln, 

 so kann offenbar auch f(jc) als Function von u dargestellt werden. 

 Wenn dies geschehen, wird man finden: 



f{x) = Fiu) 



und, wenn man diese Gleichung nach x differentiirt , hierauf durch 



du 



— = (p'(x) dividirt, und dieses Verfahren wiederholt anwendet, zu 



(Ix ^ ^ ■' 



der Gleichung: 



1 J 1 f (x) 



d d . . . d 



rfo-"— 1 dn^ 



gelangen. Daraus folgt unmiltelbar: 



An = für X = a, oder u = (p («) = 0. 



" ' du" 



Auch dieses Verfahren lässt sich ohne Mühe auf Functionen 

 von zwei V^eränderlichen ausdehnen. 



Kann man nämlich aus den Gleichungen: 



u = f (x) , V = (/' ( y) 



X und y als Functionen resp. von u und v in endlicher Form finden, 

 so lässt sich auch f(^x,y) als Function von u und v darstellen, so 

 dass: 



f(x,y) = F{u,v). 



Bildet man, in analoger Weise wie oben, den im Art. 8 für P,„, „ 

 angegebenen Ausdruck und setzt dann für x und y resp. die Werthe 

 n und b, für welche <p («) und ^ (6) verschwinden, so ergibt sich 

 für die Bestimmung jenes Coefficienten die Formel: 



P,n.n = -— , —^ ' f'i'" U^O, V^ 0. 



'«!«! du'" dv" 



