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welche unter der Bedingung gilt, dass der Zahlenwerth von a kleiner 

 als 1 sei und x zwischen — tz und -{-t: liege. 



Die Theorie der bestimmten Integrale bietet viele Hilfsmittel 

 dar, die Anzalil der Resultate oben bezeichneter Art zu vermehren. 

 Da es sich aber hier nur um die allgemeinere Betrachtung der Potenz- 

 reiheii handelt, so werde ich mich mit besonderen Fällen nicht wei- 

 ter beschäftigen. 



15. 



Wie in der Einleitung bemerkt worden ist, wird sich die vor- 

 liegende Arbeit auch mit der Summirung derjenigen Reihen befassen, 

 welche aus der Verbindung der Entwickelungscoefficienten zweier 

 nach den Sinus und Cosinus der Vielfachen eines Bogens fortschrei- 

 tenden Reihen gebildet sind. 



Für diese letzteren Reiben, welcbe die sogenannten Fourier- 

 schen sind, findet, wie bekannt, der folgende Satz Statt. 



Werden aus den Gleichungen : 



1 c^"" 1 r^""^ 



(Im == — / f{x) cos mx . dx , b„ = — / f{^^ sin nx dx 



— TT — TT 



die Coefficienten der Reihen: 



1 



-y- «0 + «1 cos X -(- fto cos 2x -\- . . . + a,u cos mx -\- . . . 



-j- bi sin X -\- bo sin 2.p -j- . . . -|- bn sin 7ix -|- . . . 



berechnet, so stellt diese Reihe die Function f(x) für alle zwischen 

 — 7t und -\- TT liegenden Werthe von x dar, insoferne <f {x} inner- 

 halb dieses Intervalles stetig bleibt; die Reihe gibt aber das arith- 

 metische Mittel der zwei Werthe von ^ (x), welche, im Falle der 

 Unsteligkeit dieser Function, für einen Werth von x stattfinden. 



Dieses vorausgesetzt, n)ögen nun <p (.r) und </> (.r) zwei, inner- 

 halb des Intervalles von — tt bis -|-7r stetige Functionen bezeichnen, 

 welche in die Reihen : 



1 

 f (ar) =^ — «0 + «1 cos X + «2 cos 2x -{-... ~\- a,,, cos mx + . . . 



-\- bi sin X -j- bz sin 2x -f • • • + b„ siu ?/x -\~ . ■ . 



<ft ( a-') := -- «0 + «1 cos X -{- «a cos 2x -f . . . -j- «„ cos^x + . . . 



-|- ßi sin X -\- ß-i sin 2x -\- ... -\- ß^ sin vx -\- •■ • 



