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Diese Gleichungen, sowie jene des vorigen Artikels, liefern, wie 

 man sieht, die Summen neuer Reihen, sobald die Entwickelung einer 

 oder zweier Functionen nach Sinus oder Cosinus der Vielfachen von 

 X gegeben ist. Es ist jedoch nicht schwer, auch die Summen von 

 Reihen abzuleiten, welche auf andere als die oben vorausgesetzte Art 

 aus den Entwickelungs-Coefficienten a und b gebildet sind. 



17. 



Um dieses an einigen besonderen Fällen zu zeigen, multiplicire 

 man die Gleichung: 



<p (.r) = — «0 -h «1 cos X -{- a^ cos 2^ -|~ • • • "h ^m cos mx -f- . • • 



mit sin nx und integrire sie dann zwischen den Grenzen und 7t. 

 Remerkt man hierauf, dass: 



i 



cos mx sin rix = — [sin (n -\- m^ x -\- sin (;« — m) x^, 



so erscheint das allgemeine Glied der Reihe in der Form: 



- «m ] / sin (ji -{- m) X dx -{- 1 sin (« — m) x.dx> 







aus welcher man auf der Stelle ersieht, dass jenes Glied immer ver- 

 schwindet, wenn m und n gleichzeitig entweder gerade oder unge- 

 rade Ziihlen sind, dass also nur diejenigen Fälle in Retracht kommen, 

 in welchen m und n ungleichartig sind. Setzt man also 2m für m, 

 und 2w-|-l für ti und führt man die beiden Integrationen aus, so 

 erfolgt : 



(1.1) 2(2« + l)«2„ 



«2« t 7~^ TT + 



(2m 4- 2« + 1 2« — 2m + 1) (2« -f- 1)2 — 4m2 



und man wird hierdurch zu der folgenden Gleichung geführt: 



(2n + l)2 ' (2m4-1)2-4.12 ' (2n + l)2-4.22 ■ ' (2rt^l)a_4,„3 ' 



= -, :; / <P(^) sin (2n 4- i) x.dx = — -^ — . . . .(1) 



