Eiüige allgemeine Sätze zur Theorie der Reihen. 709 



Setzt man dagegen 2w+I für m, und 2n für n, so ergibt sich 

 auf gleiche Weise : 



«1 , «3 , "5 , «7 , «am+i 



■ ■ "i 4, 



4„ä_lä ■ 4h2— 32 ' 4«^ — 52 ' 4re2-7a ' ' 4h2 _ (2m+l)2 ' " 



= — I <p(^^') sin 2nx.dx. = — . . . (2^ 



4«J ^^ ^ 4 2« '^ ^ 







In diesen beiden Gleichungen ist allgemein: 

 (In = — / <p(x) COS na^ . dx 



9 r^ 



sin /id7 . dx 



zu setzen. 



Ich w ill nunmehr dieselbe Betrachtung auf die Reihe : 



(p (.X") = bi sin X -\- bo sin 2x -\- b^ sin 2x -}-... -\- 6,„siii wa?-|- . , . 



anwenden und zu dem Ende durchgehends mit cos nx multipliciren. 

 Integrirt man hierauf zwischen den Grenzen und ti, bemerkt auch, 

 dass das allgemeine Glied der Reihe hierdurch in: 



— bo,n I / sin (ni -{- ii) x dx -\- I sin (m — «) x dxl 



übergeht, so zeigt sich auch hier, dass nur dann, wenn m und ti 

 ungleichartige ganze Zahlen sind, jenes Glied nicht verschwindet. 

 Wenn also einmal 2n-\-i und dann 2n für w, und entsprechend 2m 

 und 2m-\-i für m gesetzt und im Übrigen wie in den beiden vorher- 

 gehenden Fällen verfahren wird, so ergeben sich die beiden weite- 

 ren Gleichungen: 



4.12— (2»i + l)2 "^ 4.22— (2h ^- 1)2 "••••"•" 4,„2_ (2rt 4- iy~^ " ' 



1 f" r. 



= — l if {x) COS (2w -[- 1) x.dx = — (i%H-\-i • • .(3) 



